Calcul infinitésimal Exemples

$y = \sqrt{a x} + \frac{a}{\sqrt{a x}}$

Étape 1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\sqrt{a x} + \frac{a}{\sqrt{a x}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\sqrt{a x}] + \frac{d}{d x} [\frac{a}{\sqrt{a x}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{a x}] + \frac{d}{d x} [\frac{a}{\sqrt{a x}}]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\sqrt{a x}]$ .

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Étape 2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{a x}$ comme ${(a x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(a x)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{a}{\sqrt{a x}}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = a x$ .

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Étape 2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $a x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [a x] + \frac{d}{d x} [\frac{a}{\sqrt{a x}}]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [a x] + \frac{d}{d x} [\frac{a}{\sqrt{a x}}]$

Étape 2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $a x$ .

$\frac{1}{2} {(a x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [a x] + \frac{d}{d x} [\frac{a}{\sqrt{a x}}]$

Étape 2.3

Comme $a$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $a x$ par rapport à $x$ est $a \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} {(a x)}^{\frac{1}{2} - 1} (a \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\frac{a}{\sqrt{a x}}]$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{2} {(a x)}^{\frac{1}{2} - 1} (a \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\frac{a}{\sqrt{a x}}]$

Étape 2.5

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(a x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (a \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\frac{a}{\sqrt{a x}}]$

Étape 2.6

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(a x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (a \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\frac{a}{\sqrt{a x}}]$

Étape 2.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2} {(a x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (a \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\frac{a}{\sqrt{a x}}]$

Étape 2.8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.8.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{1}{2} {(a x)}^{\frac{1 - 2}{2}} (a \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\frac{a}{\sqrt{a x}}]$

Étape 2.8.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {(a x)}^{\frac{- 1}{2}} (a \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\frac{a}{\sqrt{a x}}]$

Étape 2.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{2} {(a x)}^{- \frac{1}{2}} (a \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\frac{a}{\sqrt{a x}}]$

Étape 2.10

Multipliez $a$ par $1$ .

$\frac{1}{2} {(a x)}^{- \frac{1}{2}} a + \frac{d}{d x} [\frac{a}{\sqrt{a x}}]$

Étape 2.11

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(a x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(a x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} a + \frac{d}{d x} [\frac{a}{\sqrt{a x}}]$

Étape 2.12

Associez $\frac{{(a x)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ et $a$ .

$\frac{{(a x)}^{- \frac{1}{2}} a}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{a}{\sqrt{a x}}]$

Étape 2.13

Placez ${(a x)}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{a}{2 {(a x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [\frac{a}{\sqrt{a x}}]$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{a}{\sqrt{a x}}]$ .

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Étape 3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{a x}$ comme ${(a x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{a}{2 {(a x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [\frac{a}{{(a x)}^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 3.2

Comme $a$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{a}{{(a x)}^{\frac{1}{2}}}$ par rapport à $x$ est $a \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(a x)}^{\frac{1}{2}}}]$ .

$\frac{a}{2 {(a x)}^{\frac{1}{2}}} + a \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(a x)}^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 3.3

Réécrivez $\frac{1}{{(a x)}^{\frac{1}{2}}}$ comme ${({(a x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$\frac{a}{2 {(a x)}^{\frac{1}{2}}} + a \frac{d}{d x} [{({(a x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = {(a x)}^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 3.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme ${(a x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{a}{2 {(a x)}^{\frac{1}{2}}} + a (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [{(a x)}^{\frac{1}{2}}])$

Étape 3.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$\frac{a}{2 {(a x)}^{\frac{1}{2}}} + a (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} [{(a x)}^{\frac{1}{2}}])$

Étape 3.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par ${(a x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{a}{2 {(a x)}^{\frac{1}{2}}} + a (- {({(a x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [{(a x)}^{\frac{1}{2}}])$

Étape 3.5

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = a x$ .

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Étape 3.5.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{3}$ comme $a x$ .

$\frac{a}{2 {(a x)}^{\frac{1}{2}}} + a (- {({(a x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [a x]))$

Étape 3.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ est $n {u_{3}}^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{a}{2 {(a x)}^{\frac{1}{2}}} + a (- {({(a x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} {u_{3}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [a x]))$

Étape 3.5.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{3}$ par $a x$ .

$\frac{a}{2 {(a x)}^{\frac{1}{2}}} + a (- {({(a x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} {(a x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [a x]))$

Étape 3.6

Comme $a$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $a x$ par rapport à $x$ est $a \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{a}{2 {(a x)}^{\frac{1}{2}}} + a (- {({(a x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} {(a x)}^{\frac{1}{2} - 1} (a \frac{d}{d x} [x])))$

Étape 3.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{a}{2 {(a x)}^{\frac{1}{2}}} + a (- {({(a x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} {(a x)}^{\frac{1}{2} - 1} (a \cdot 1)))$

Étape 3.8

Multipliez les exposants dans ${({(a x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ .

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Étape 3.8.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{a}{2 {(a x)}^{\frac{1}{2}}} + a (- {(a x)}^{\frac{1}{2} \cdot - 2} (\frac{1}{2} {(a x)}^{\frac{1}{2} - 1} (a \cdot 1)))$

Étape 3.8.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.8.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$\frac{a}{2 {(a x)}^{\frac{1}{2}}} + a (- {(a x)}^{\frac{1}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{1}{2} {(a x)}^{\frac{1}{2} - 1} (a \cdot 1)))$

Étape 3.8.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{a}{2 {(a x)}^{\frac{1}{2}}} + a (- {(a x)}^{\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{1}{2} {(a x)}^{\frac{1}{2} - 1} (a \cdot 1)))$

Étape 3.8.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{a}{2 {(a x)}^{\frac{1}{2}}} + a (- {(a x)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(a x)}^{\frac{1}{2} - 1} (a \cdot 1)))$

Étape 3.9

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{a}{2 {(a x)}^{\frac{1}{2}}} + a (- {(a x)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(a x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (a \cdot 1)))$

Étape 3.10

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{a}{2 {(a x)}^{\frac{1}{2}}} + a (- {(a x)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(a x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (a \cdot 1)))$

Étape 3.11

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{a}{2 {(a x)}^{\frac{1}{2}}} + a (- {(a x)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(a x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (a \cdot 1)))$

Étape 3.12

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.12.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{a}{2 {(a x)}^{\frac{1}{2}}} + a (- {(a x)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(a x)}^{\frac{1 - 2}{2}} (a \cdot 1)))$

Étape 3.12.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{a}{2 {(a x)}^{\frac{1}{2}}} + a (- {(a x)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(a x)}^{\frac{- 1}{2}} (a \cdot 1)))$

Étape 3.13

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{a}{2 {(a x)}^{\frac{1}{2}}} + a (- {(a x)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(a x)}^{- \frac{1}{2}} (a \cdot 1)))$

Étape 3.14

Multipliez $a$ par $1$ .

$\frac{a}{2 {(a x)}^{\frac{1}{2}}} + a (- {(a x)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(a x)}^{- \frac{1}{2}} a))$

Étape 3.15

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(a x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{a}{2 {(a x)}^{\frac{1}{2}}} + a (- {(a x)}^{- 1} (\frac{{(a x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} a))$

Étape 3.16

Associez $\frac{{(a x)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ et $a$ .

$\frac{a}{2 {(a x)}^{\frac{1}{2}}} + a (- {(a x)}^{- 1} \frac{{(a x)}^{- \frac{1}{2}} a}{2})$

Étape 3.17

Placez ${(a x)}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{a}{2 {(a x)}^{\frac{1}{2}}} + a (- {(a x)}^{- 1} \frac{a}{2 {(a x)}^{\frac{1}{2}}})$

Étape 3.18

Associez $\frac{a}{2 {(a x)}^{\frac{1}{2}}}$ et ${(a x)}^{- 1}$ .

$\frac{a}{2 {(a x)}^{\frac{1}{2}}} + a (- \frac{a {(a x)}^{- 1}}{2 {(a x)}^{\frac{1}{2}}})$

Étape 3.19

Placez ${(a x)}^{- 1}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{a}{2 {(a x)}^{\frac{1}{2}}} + a (- \frac{a}{2 {(a x)}^{\frac{1}{2}} (a x)})$

Étape 3.20

Annulez le facteur commun.

$\frac{a}{2 {(a x)}^{\frac{1}{2}}} + a (- \frac{a}{2 {(a x)}^{\frac{1}{2}} (a x)})$

Étape 3.21

Réécrivez l’expression.

$\frac{a}{2 {(a x)}^{\frac{1}{2}}} + a (- \frac{1}{2 {(a x)}^{\frac{1}{2}} (x)})$

Étape 3.22

Associez $a$ et $\frac{1}{2 {(a x)}^{\frac{1}{2}} (x)}$ .

$\frac{a}{2 {(a x)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{a}{2 {(a x)}^{\frac{1}{2}} (x)}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Appliquez la règle de produit à $a x$ .

$\frac{a}{2 (a^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})} - \frac{a}{2 {(a x)}^{\frac{1}{2}} (x)}$

Étape 4.2

Appliquez la règle de produit à $a x$ .

$\frac{a}{2 (a^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})} - \frac{a}{2 (a^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) x}$

Étape 4.3

Associez des termes.

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Étape 4.3.1

Placez $a^{\frac{1}{2}}$ sur le numérateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{a \cdot a^{- \frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{a}{2 (a^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) x}$

Étape 4.3.2

Multipliez $a$ par $a^{- \frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.3.2.1

Multipliez $a$ par $a^{- \frac{1}{2}}$ .

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Étape 4.3.2.1.1

Élevez $a$ à la puissance $1$ .

$\frac{a^{1} a^{- \frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{a}{2 (a^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) x}$

Étape 4.3.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{a^{1 - \frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{a}{2 (a^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) x}$

Étape 4.3.2.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{a^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{a}{2 (a^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) x}$

Étape 4.3.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{a^{\frac{2 - 1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{a}{2 (a^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) x}$

Étape 4.3.2.4

Soustrayez $1$ de $2$ .

$\frac{a^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{a}{2 (a^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) x}$

Étape 4.3.3

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{a^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{a}{2 a^{\frac{1}{2}} (x^{1} x^{\frac{1}{2}})}$

Étape 4.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{a^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{a}{2 a^{\frac{1}{2}} x^{1 + \frac{1}{2}}}$

Étape 4.3.5

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{a^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{a}{2 a^{\frac{1}{2}} x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

Étape 4.3.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{a^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{a}{2 a^{\frac{1}{2}} x^{\frac{2 + 1}{2}}}$

Étape 4.3.7

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{a^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{a}{2 a^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 4.3.8

Placez $a^{\frac{1}{2}}$ sur le numérateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{a^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{a \cdot a^{- \frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 4.3.9

Multipliez $a$ par $a^{- \frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.3.9.1

Multipliez $a$ par $a^{- \frac{1}{2}}$ .

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Étape 4.3.9.1.1

Élevez $a$ à la puissance $1$ .

$\frac{a^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{a^{1} a^{- \frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 4.3.9.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{a^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{a^{1 - \frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 4.3.9.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{a^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{a^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 4.3.9.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{a^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{a^{\frac{2 - 1}{2}}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 4.3.9.4

Soustrayez $1$ de $2$ .

$\frac{a^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{a^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$