Calcul infinitésimal Exemples

$y = x^{4} \ln (x - \frac{1}{3} x^{3})$

Étape 1

Associez $x^{3}$ et $\frac{1}{3}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} \ln (x - \frac{x^{3}}{3})]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{4}$ et $g (x) = \ln (x - \frac{x^{3}}{3})$ .

$x^{4} \frac{d}{d x} [\ln (x - \frac{x^{3}}{3})] + \ln (x - \frac{x^{3}}{3}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = x - \frac{x^{3}}{3}$ .

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Étape 3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x - \frac{x^{3}}{3}$ .

$x^{4} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x - \frac{x^{3}}{3}]) + \ln (x - \frac{x^{3}}{3}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Étape 3.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$x^{4} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x - \frac{x^{3}}{3}]) + \ln (x - \frac{x^{3}}{3}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Étape 3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x - \frac{x^{3}}{3}$ .

$x^{4} (\frac{1}{x - \frac{x^{3}}{3}} \frac{d}{d x} [x - \frac{x^{3}}{3}]) + \ln (x - \frac{x^{3}}{3}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Étape 4

Différenciez.

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Étape 4.1

Associez $\frac{1}{x - \frac{x^{3}}{3}}$ et $x^{4}$ .

$\frac{x^{4}}{x - \frac{x^{3}}{3}} \frac{d}{d x} [x - \frac{x^{3}}{3}] + \ln (x - \frac{x^{3}}{3}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Étape 4.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - \frac{x^{3}}{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{3}]$ .

$\frac{x^{4}}{x - \frac{x^{3}}{3}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{3}]) + \ln (x - \frac{x^{3}}{3}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Étape 4.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{x^{4}}{x - \frac{x^{3}}{3}} (1 + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{3}]) + \ln (x - \frac{x^{3}}{3}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Étape 4.4

Comme $- \frac{1}{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{x^{3}}{3}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{x^{4}}{x - \frac{x^{3}}{3}} (1 - \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \ln (x - \frac{x^{3}}{3}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Étape 4.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{x^{4}}{x - \frac{x^{3}}{3}} (1 - \frac{1}{3} (3 x^{2})) + \ln (x - \frac{x^{3}}{3}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Étape 4.6

Simplifiez les termes.

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Étape 4.6.1

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{x^{4}}{x - \frac{x^{3}}{3}} (1 - 3 (\frac{1}{3}) x^{2}) + \ln (x - \frac{x^{3}}{3}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Étape 4.6.2

Associez $- 3$ et $\frac{1}{3}$ .

$\frac{x^{4}}{x - \frac{x^{3}}{3}} (1 + \frac{- 3}{3} x^{2}) + \ln (x - \frac{x^{3}}{3}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Étape 4.6.3

Associez $\frac{- 3}{3}$ et $x^{2}$ .

$\frac{x^{4}}{x - \frac{x^{3}}{3}} (1 + \frac{- 3 x^{2}}{3}) + \ln (x - \frac{x^{3}}{3}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Étape 4.6.4

Annulez le facteur commun à $- 3$ et $3$ .

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Étape 4.6.4.1

Factorisez $3$ à partir de $- 3 x^{2}$ .

$\frac{x^{4}}{x - \frac{x^{3}}{3}} (1 + \frac{3 (- x^{2})}{3}) + \ln (x - \frac{x^{3}}{3}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Étape 4.6.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.6.4.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\frac{x^{4}}{x - \frac{x^{3}}{3}} (1 + \frac{3 (- x^{2})}{3 (1)}) + \ln (x - \frac{x^{3}}{3}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Étape 4.6.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{4}}{x - \frac{x^{3}}{3}} (1 + \frac{3 (- x^{2})}{3 \cdot 1}) + \ln (x - \frac{x^{3}}{3}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Étape 4.6.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{x^{4}}{x - \frac{x^{3}}{3}} (1 + \frac{- x^{2}}{1}) + \ln (x - \frac{x^{3}}{3}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Étape 4.6.4.2.4

Divisez $- x^{2}$ par $1$ .

$\frac{x^{4}}{x - \frac{x^{3}}{3}} (1 - x^{2}) + \ln (x - \frac{x^{3}}{3}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Étape 4.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$\frac{x^{4}}{x - \frac{x^{3}}{3}} (1 - x^{2}) + \ln (x - \frac{x^{3}}{3}) (4 x^{3})$

Étape 4.8

Remettez les termes dans l’ordre.

$(1 - x^{2}) \frac{x^{4}}{x - \frac{x^{3}}{3}} + 4 x^{3} \ln (x - \frac{x^{3}}{3})$