Calcul infinitésimal Exemples

$y = x^{\ln (4 x)}$

Étape 1

Utilisez les propriétés des logarithmes pour simplifier la différenciation.

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Étape 1.1

Réécrivez $x^{\ln (4 x)}$ comme $e^{\ln (x^{\ln (4 x)})}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{\ln (4 x)})}]$

Étape 1.2

Développez $\ln (x^{\ln (4 x)})$ en déplaçant $\ln (4 x)$ hors du logarithme.

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (4 x) \ln (x)}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = \ln (4 x) \ln (x)$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $\ln (4 x) \ln (x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [\ln (4 x) \ln (x)]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ est $a^{u_{1}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [\ln (4 x) \ln (x)]$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\ln (4 x) \ln (x)$ .

$e^{\ln (4 x) \ln (x)} \frac{d}{d x} [\ln (4 x) \ln (x)]$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = \ln (4 x)$ et $g (x) = \ln (x)$ .

$e^{\ln (4 x) \ln (x)} (\ln (4 x) \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (4 x)])$

Étape 4

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$e^{\ln (4 x) \ln (x)} (\ln (4 x) \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (4 x)])$

Étape 5

Associez $\ln (4 x)$ et $\frac{1}{x}$ .

$e^{\ln (4 x) \ln (x)} (\frac{\ln (4 x)}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (4 x)])$

Étape 6

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = 4 x$ .

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Étape 6.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $4 x$ .

$e^{\ln (4 x) \ln (x)} (\frac{\ln (4 x)}{x} + \ln (x) (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [4 x]))$

Étape 6.2

La dérivée de $\ln (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $\frac{1}{u_{2}}$ .

$e^{\ln (4 x) \ln (x)} (\frac{\ln (4 x)}{x} + \ln (x) (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [4 x]))$

Étape 6.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $4 x$ .

$e^{\ln (4 x) \ln (x)} (\frac{\ln (4 x)}{x} + \ln (x) (\frac{1}{4 x} \frac{d}{d x} [4 x]))$

Étape 7

Différenciez.

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Étape 7.1

Associez $\frac{1}{4 x}$ et $\ln (x)$ .

$e^{\ln (4 x) \ln (x)} (\frac{\ln (4 x)}{x} + \frac{\ln (x)}{4 x} \frac{d}{d x} [4 x])$

Étape 7.2

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{\ln (4 x) \ln (x)} (\frac{\ln (4 x)}{x} + \frac{\ln (x)}{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x]))$

Étape 7.3

Simplifiez les termes.

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Étape 7.3.1

Associez $4$ et $\frac{\ln (x)}{4 x}$ .

$e^{\ln (4 x) \ln (x)} (\frac{\ln (4 x)}{x} + \frac{4 \ln (x)}{4 x} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 7.3.2

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 7.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$e^{\ln (4 x) \ln (x)} (\frac{\ln (4 x)}{x} + \frac{4 \ln (x)}{4 x} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 7.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$e^{\ln (4 x) \ln (x)} (\frac{\ln (4 x)}{x} + \frac{\ln (x)}{x} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 7.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$e^{\ln (4 x) \ln (x)} (\frac{\ln (4 x)}{x} + \frac{\ln (x)}{x} \cdot 1)$

Étape 7.5

Multipliez $\frac{\ln (x)}{x}$ par $1$ .

$e^{\ln (4 x) \ln (x)} (\frac{\ln (4 x)}{x} + \frac{\ln (x)}{x})$

Étape 8

Simplifiez

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Étape 8.1

Appliquez la propriété distributive.

$e^{\ln (4 x) \ln (x)} \frac{\ln (4 x)}{x} + e^{\ln (4 x) \ln (x)} \frac{\ln (x)}{x}$

Étape 8.2

Associez des termes.

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Étape 8.2.1

Associez $e^{\ln (4 x) \ln (x)}$ et $\frac{\ln (4 x)}{x}$ .

$\frac{e^{\ln (4 x) \ln (x)} \ln (4 x)}{x} + e^{\ln (4 x) \ln (x)} \frac{\ln (x)}{x}$

Étape 8.2.2

Associez $e^{\ln (4 x) \ln (x)}$ et $\frac{\ln (x)}{x}$ .

$\frac{e^{\ln (4 x) \ln (x)} \ln (4 x)}{x} + \frac{e^{\ln (4 x) \ln (x)} \ln (x)}{x}$