Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{x + 5}{x^{3} + x - 4}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x + 5$ et $g (x) = x^{3} + x - 4$ .

$\frac{(x^{3} + x - 4) \frac{d}{d x} [x + 5] - (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{3} + x - 4]}{{(x^{3} + x - 4)}^{2}}$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{(x^{3} + x - 4) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]) - (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{3} + x - 4]}{{(x^{3} + x - 4)}^{2}}$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(x^{3} + x - 4) (1 + \frac{d}{d x} [5]) - (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{3} + x - 4]}{{(x^{3} + x - 4)}^{2}}$

Étape 2.3

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{(x^{3} + x - 4) (1 + 0) - (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{3} + x - 4]}{{(x^{3} + x - 4)}^{2}}$

Étape 2.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{(x^{3} + x - 4) \cdot 1 - (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{3} + x - 4]}{{(x^{3} + x - 4)}^{2}}$

Étape 2.4.2

Multipliez $x^{3} + x - 4$ par $1$ .

$\frac{x^{3} + x - 4 - (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{3} + x - 4]}{{(x^{3} + x - 4)}^{2}}$

Étape 2.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} + x - 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{x^{3} + x - 4 - (x + 5) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(x^{3} + x - 4)}^{2}}$

Étape 2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{x^{3} + x - 4 - (x + 5) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(x^{3} + x - 4)}^{2}}$

Étape 2.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{x^{3} + x - 4 - (x + 5) (3 x^{2} + 1 + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(x^{3} + x - 4)}^{2}}$

Étape 2.8

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{x^{3} + x - 4 - (x + 5) (3 x^{2} + 1 + 0)}{{(x^{3} + x - 4)}^{2}}$

Étape 2.9

Additionnez $3 x^{2} + 1$ et $0$ .

$\frac{x^{3} + x - 4 - (x + 5) (3 x^{2} + 1)}{{(x^{3} + x - 4)}^{2}}$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{3} + x - 4 + (- x - 1 \cdot 5) (3 x^{2} + 1)}{{(x^{3} + x - 4)}^{2}}$

Étape 3.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.1

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$\frac{x^{3} + x - 4 + (- x - 5) (3 x^{2} + 1)}{{(x^{3} + x - 4)}^{2}}$

Étape 3.2.1.2

Développez $(- x - 5) (3 x^{2} + 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.2.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{3} + x - 4 - x (3 x^{2} + 1) - 5 (3 x^{2} + 1)}{{(x^{3} + x - 4)}^{2}}$

Étape 3.2.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{3} + x - 4 - x (3 x^{2}) - x \cdot 1 - 5 (3 x^{2} + 1)}{{(x^{3} + x - 4)}^{2}}$

Étape 3.2.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{3} + x - 4 - x (3 x^{2}) - x \cdot 1 - 5 (3 x^{2}) - 5 \cdot 1}{{(x^{3} + x - 4)}^{2}}$

Étape 3.2.1.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.3.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{x^{3} + x - 4 - 1 \cdot 3 x \cdot x^{2} - x \cdot 1 - 5 (3 x^{2}) - 5 \cdot 1}{{(x^{3} + x - 4)}^{2}}$

Étape 3.2.1.3.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.2.1.3.2.1

Déplacez $x^{2}$ .

$\frac{x^{3} + x - 4 - 1 \cdot 3 (x^{2} x) - x \cdot 1 - 5 (3 x^{2}) - 5 \cdot 1}{{(x^{3} + x - 4)}^{2}}$

Étape 3.2.1.3.2.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 3.2.1.3.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{x^{3} + x - 4 - 1 \cdot 3 (x^{2} x^{1}) - x \cdot 1 - 5 (3 x^{2}) - 5 \cdot 1}{{(x^{3} + x - 4)}^{2}}$

Étape 3.2.1.3.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{x^{3} + x - 4 - 1 \cdot 3 x^{2 + 1} - x \cdot 1 - 5 (3 x^{2}) - 5 \cdot 1}{{(x^{3} + x - 4)}^{2}}$

Étape 3.2.1.3.2.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{x^{3} + x - 4 - 1 \cdot 3 x^{3} - x \cdot 1 - 5 (3 x^{2}) - 5 \cdot 1}{{(x^{3} + x - 4)}^{2}}$

Étape 3.2.1.3.3

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{x^{3} + x - 4 - 3 x^{3} - x \cdot 1 - 5 (3 x^{2}) - 5 \cdot 1}{{(x^{3} + x - 4)}^{2}}$

Étape 3.2.1.3.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{x^{3} + x - 4 - 3 x^{3} - x - 5 (3 x^{2}) - 5 \cdot 1}{{(x^{3} + x - 4)}^{2}}$

Étape 3.2.1.3.5

Multipliez $3$ par $- 5$ .

$\frac{x^{3} + x - 4 - 3 x^{3} - x - 15 x^{2} - 5 \cdot 1}{{(x^{3} + x - 4)}^{2}}$

Étape 3.2.1.3.6

Multipliez $- 5$ par $1$ .

$\frac{x^{3} + x - 4 - 3 x^{3} - x - 15 x^{2} - 5}{{(x^{3} + x - 4)}^{2}}$

Étape 3.2.2

Associez les termes opposés dans $x^{3} + x - 4 - 3 x^{3} - x - 15 x^{2} - 5$ .

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Étape 3.2.2.1

Soustrayez $x$ de $x$ .

$\frac{x^{3} - 4 - 3 x^{3} + 0 - 15 x^{2} - 5}{{(x^{3} + x - 4)}^{2}}$

Étape 3.2.2.2

Additionnez $x^{3} - 4 - 3 x^{3}$ et $0$ .

$\frac{x^{3} - 4 - 3 x^{3} - 15 x^{2} - 5}{{(x^{3} + x - 4)}^{2}}$

Étape 3.2.3

Soustrayez $3 x^{3}$ de $x^{3}$ .

$\frac{- 2 x^{3} - 4 - 15 x^{2} - 5}{{(x^{3} + x - 4)}^{2}}$

Étape 3.2.4

Soustrayez $5$ de $- 4$ .

$\frac{- 2 x^{3} - 15 x^{2} - 9}{{(x^{3} + x - 4)}^{2}}$

Étape 3.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 2 x^{3}$ .

$\frac{- (2 x^{3}) - 15 x^{2} - 9}{{(x^{3} + x - 4)}^{2}}$

Étape 3.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- 15 x^{2}$ .

$\frac{- (2 x^{3}) - (15 x^{2}) - 9}{{(x^{3} + x - 4)}^{2}}$

Étape 3.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (2 x^{3}) - (15 x^{2})$ .

$\frac{- (2 x^{3} + 15 x^{2}) - 9}{{(x^{3} + x - 4)}^{2}}$

Étape 3.6

Réécrivez $- 9$ comme $- 1 (9)$ .

$\frac{- (2 x^{3} + 15 x^{2}) - 1 (9)}{{(x^{3} + x - 4)}^{2}}$

Étape 3.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- (2 x^{3} + 15 x^{2}) - 1 (9)$ .

$\frac{- (2 x^{3} + 15 x^{2} + 9)}{{(x^{3} + x - 4)}^{2}}$

Étape 3.8

Réécrivez $- (2 x^{3} + 15 x^{2} + 9)$ comme $- 1 (2 x^{3} + 15 x^{2} + 9)$ .

$\frac{- 1 (2 x^{3} + 15 x^{2} + 9)}{{(x^{3} + x - 4)}^{2}}$

Étape 3.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2 x^{3} + 15 x^{2} + 9}{{(x^{3} + x - 4)}^{2}}$