Calcul infinitésimal Exemples

$y = \log_{5} (\sqrt{5 x + 2})$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{5 x + 2}$ comme ${(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\log_{5} ({(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}})]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \log_{5} (x)$ et $g (x) = {(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme ${(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\log_{5} (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 2.2

La dérivée de $\log_{5} (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\frac{1}{u_{1} \ln (5)}$ .

$\frac{1}{u_{1} \ln (5)} \frac{d}{d x} [{(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par ${(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{{(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}} \ln (5)} \frac{d}{d x} [{(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = 5 x + 2$ .

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Étape 3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $5 x + 2$ .

$\frac{1}{{(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}} \ln (5)} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [5 x + 2])$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{{(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}} \ln (5)} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [5 x + 2])$

Étape 3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $5 x + 2$ .

$\frac{1}{{(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}} \ln (5)} (\frac{1}{2} {(5 x + 2)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [5 x + 2])$

Étape 4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{{(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}} \ln (5)} (\frac{1}{2} {(5 x + 2)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [5 x + 2])$

Étape 5

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{{(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}} \ln (5)} (\frac{1}{2} {(5 x + 2)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [5 x + 2])$

Étape 6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{{(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}} \ln (5)} (\frac{1}{2} {(5 x + 2)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [5 x + 2])$

Étape 7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{1}{{(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}} \ln (5)} (\frac{1}{2} {(5 x + 2)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [5 x + 2])$

Étape 7.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{1}{{(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}} \ln (5)} (\frac{1}{2} {(5 x + 2)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [5 x + 2])$

Étape 8

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{{(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}} \ln (5)} (\frac{1}{2} {(5 x + 2)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [5 x + 2])$

Étape 9

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(5 x + 2)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{{(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}} \ln (5)} (\frac{{(5 x + 2)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [5 x + 2])$

Étape 10

Placez ${(5 x + 2)}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{{(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}} \ln (5)} (\frac{1}{2 {(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [5 x + 2])$

Étape 11

Multipliez $\frac{1}{2 {(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ par $\frac{1}{{(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}} \ln (5)}$ .

$\frac{1}{2 {(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}} ({(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}} \ln (5))} \frac{d}{d x} [5 x + 2]$

Étape 12

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{2 {(5 x + 2)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \ln (5)} \frac{d}{d x} [5 x + 2]$

Étape 13

Simplifiez l’expression.

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Étape 13.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2 {(5 x + 2)}^{\frac{1 + 1}{2}} \ln (5)} \frac{d}{d x} [5 x + 2]$

Étape 13.2

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1}{2 {(5 x + 2)}^{\frac{2}{2}} \ln (5)} \frac{d}{d x} [5 x + 2]$

Étape 14

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 14.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2 {(5 x + 2)}^{\frac{2}{2}} \ln (5)} \frac{d}{d x} [5 x + 2]$

Étape 14.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2 {(5 x + 2)}^{1} \ln (5)} \frac{d}{d x} [5 x + 2]$

Étape 15

Simplifiez

$\frac{1}{2 (5 x + 2) \ln (5)} \frac{d}{d x} [5 x + 2]$

Étape 16

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 x + 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{1}{2 (5 x + 2) \ln (5)} (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [2])$

Étape 17

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2 (5 x + 2) \ln (5)} (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])$

Étape 18

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{2 (5 x + 2) \ln (5)} (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2])$

Étape 19

Multipliez $5$ par $1$ .

$\frac{1}{2 (5 x + 2) \ln (5)} (5 + \frac{d}{d x} [2])$

Étape 20

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{2 (5 x + 2) \ln (5)} (5 + 0)$

Étape 21

Associez les fractions.

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Étape 21.1

Additionnez $5$ et $0$ .

$\frac{1}{2 (5 x + 2) \ln (5)} \cdot 5$

Étape 21.2

Associez $\frac{1}{2 (5 x + 2) \ln (5)}$ et $5$ .

$\frac{5}{2 (5 x + 2) \ln (5)}$

Étape 22

Simplifiez

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Étape 22.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5}{(2 (5 x) + 2 \cdot 2) \ln (5)}$

Étape 22.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5}{2 (5 x) \ln (5) + 2 \cdot 2 \ln (5)}$

Étape 22.3

Associez des termes.

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Étape 22.3.1

Multipliez $5$ par $2$ .

$\frac{5}{10 x \ln (5) + 2 \cdot 2 \ln (5)}$

Étape 22.3.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{5}{10 x \ln (5) + 4 \ln (5)}$