Calcul infinitésimal Exemples

$y = \ln ({(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7}})$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = {(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7}}$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme ${(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7}}]$

Étape 1.2

La dérivée de $\ln (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [{(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7}}]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par ${(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7}}$ .

$\frac{1}{{(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7}}} \frac{d}{d x} [{(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7}}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{9}{7}}$ et $g (x) = 3 x^{4} + 5 x$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $3 x^{4} + 5 x$ .

$\frac{1}{{(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7}}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{9}{7}}] \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 5 x])$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = \frac{9}{7}$ .

$\frac{1}{{(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7}}} (\frac{9}{7} {u_{2}}^{\frac{9}{7} - 1} \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 5 x])$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $3 x^{4} + 5 x$ .

$\frac{1}{{(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7}}} (\frac{9}{7} {(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7} - 1} \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 5 x])$

Étape 3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{7}{7}$ .

$\frac{1}{{(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7}}} (\frac{9}{7} {(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7} - 1 \cdot \frac{7}{7}} \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 5 x])$

Étape 4

Associez $- 1$ et $\frac{7}{7}$ .

$\frac{1}{{(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7}}} (\frac{9}{7} {(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7} + \frac{- 1 \cdot 7}{7}} \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 5 x])$

Étape 5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{{(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7}}} (\frac{9}{7} {(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9 - 1 \cdot 7}{7}} \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 5 x])$

Étape 6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1

Multipliez $- 1$ par $7$ .

$\frac{1}{{(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7}}} (\frac{9}{7} {(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9 - 7}{7}} \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 5 x])$

Étape 6.2

Soustrayez $7$ de $9$ .

$\frac{1}{{(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7}}} (\frac{9}{7} {(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{2}{7}} \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 5 x])$

Étape 7

Associez $\frac{9}{7}$ et ${(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{2}{7}}$ .

$\frac{1}{{(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7}}} (\frac{9 {(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{2}{7}}}{7} \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 5 x])$

Étape 8

Multipliez $\frac{9 {(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{2}{7}}}{7}$ par $\frac{1}{{(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7}}}$ .

$\frac{9 {(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{2}{7}}}{7 {(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7}}} \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 5 x]$

Étape 9

Placez ${(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{2}{7}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{9}{7 {(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7}} {(3 x^{4} + 5 x)}^{- \frac{2}{7}}} \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 5 x]$

Étape 10

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 10.1

Multipliez ${(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7}}$ par ${(3 x^{4} + 5 x)}^{- \frac{2}{7}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 10.1.1

Déplacez ${(3 x^{4} + 5 x)}^{- \frac{2}{7}}$ .

$\frac{9}{7 ({(3 x^{4} + 5 x)}^{- \frac{2}{7}} {(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7}})} \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 5 x]$

Étape 10.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{9}{7 {(3 x^{4} + 5 x)}^{- \frac{2}{7} + \frac{9}{7}}} \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 5 x]$

Étape 10.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{9}{7 {(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{- 2 + 9}{7}}} \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 5 x]$

Étape 10.1.4

Additionnez $- 2$ et $9$ .

$\frac{9}{7 {(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{7}{7}}} \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 5 x]$

Étape 10.1.5

Divisez $7$ par $7$ .

$\frac{9}{7 {(3 x^{4} + 5 x)}^{1}} \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 5 x]$

Étape 10.2

Simplifiez $7 {(3 x^{4} + 5 x)}^{1}$ .

$\frac{9}{7 (3 x^{4} + 5 x)} \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 5 x]$

Étape 11

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x^{4} + 5 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [5 x]$ .

$\frac{9}{7 (3 x^{4} + 5 x)} (\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [5 x])$

Étape 12

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{4}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{9}{7 (3 x^{4} + 5 x)} (3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [5 x])$

Étape 13

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$\frac{9}{7 (3 x^{4} + 5 x)} (3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [5 x])$

Étape 14

Multipliez $4$ par $3$ .

$\frac{9}{7 (3 x^{4} + 5 x)} (12 x^{3} + \frac{d}{d x} [5 x])$

Étape 15

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{9}{7 (3 x^{4} + 5 x)} (12 x^{3} + 5 \frac{d}{d x} [x])$

Étape 16

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{9}{7 (3 x^{4} + 5 x)} (12 x^{3} + 5 \cdot 1)$

Étape 17

Multipliez $5$ par $1$ .

$\frac{9}{7 (3 x^{4} + 5 x)} (12 x^{3} + 5)$

Étape 18

Simplifiez

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Étape 18.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{9}{7 (3 x^{4}) + 7 (5 x)} (12 x^{3} + 5)$

Étape 18.2

Associez des termes.

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Étape 18.2.1

Multipliez $3$ par $7$ .

$\frac{9}{21 x^{4} + 7 (5 x)} (12 x^{3} + 5)$

Étape 18.2.2

Multipliez $5$ par $7$ .

$\frac{9}{21 x^{4} + 35 x} (12 x^{3} + 5)$

Étape 18.3

Réorganisez les facteurs de $\frac{9}{21 x^{4} + 35 x} (12 x^{3} + 5)$ .

$(12 x^{3} + 5) \frac{9}{21 x^{4} + 35 x}$

Étape 18.4

Factorisez $7 x$ à partir de $21 x^{4} + 35 x$ .

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Étape 18.4.1

Factorisez $7 x$ à partir de $21 x^{4}$ .

$(12 x^{3} + 5) \frac{9}{7 x (3 x^{3}) + 35 x}$

Étape 18.4.2

Factorisez $7 x$ à partir de $35 x$ .

$(12 x^{3} + 5) \frac{9}{7 x (3 x^{3}) + 7 x (5)}$

Étape 18.4.3

Factorisez $7 x$ à partir de $7 x (3 x^{3}) + 7 x (5)$ .

$(12 x^{3} + 5) \frac{9}{7 x (3 x^{3} + 5)}$

Étape 18.5

Multipliez $12 x^{3} + 5$ par $\frac{9}{7 x (3 x^{3} + 5)}$ .

$\frac{(12 x^{3} + 5) \cdot 9}{7 x (3 x^{3} + 5)}$

Étape 18.6

Déplacez $9$ à gauche de $12 x^{3} + 5$ .

$\frac{9 (12 x^{3} + 5)}{7 x (3 x^{3} + 5)}$