Calcul infinitésimal Exemples

$y = \arctan ({(3 x)}^{2})$

Étape 1

Simplifiez en factorisant.

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Étape 1.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [\arctan ({(3 (x))}^{2})]$

Étape 1.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.2.1

Appliquez la règle de produit à $3 (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\arctan (3^{2} x^{2})]$

Étape 1.2.2

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\frac{d}{d x} [\arctan (9 x^{2})]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \arctan (x)$ et $g (x) = 9 x^{2}$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $9 x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [9 x^{2}]$

Étape 2.2

La dérivée de $\arctan (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [9 x^{2}]$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $9 x^{2}$ .

$\frac{1}{1 + {(9 x^{2})}^{2}} \frac{d}{d x} [9 x^{2}]$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Factorisez $9$ à partir de $9 x^{2}$ .

$\frac{1}{1 + {(9 (x^{2}))}^{2}} \frac{d}{d x} [9 x^{2}]$

Étape 3.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.2.1

Appliquez la règle de produit à $9 (x^{2})$ .

$\frac{1}{1 + 9^{2} {(x^{2})}^{2}} \frac{d}{d x} [9 x^{2}]$

Étape 3.2.2

Élevez $9$ à la puissance $2$ .

$\frac{1}{1 + 81 {(x^{2})}^{2}} \frac{d}{d x} [9 x^{2}]$

Étape 3.2.3

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{2}$ .

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Étape 3.2.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{1 + 81 x^{2 \cdot 2}} \frac{d}{d x} [9 x^{2}]$

Étape 3.2.3.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{1}{1 + 81 x^{4}} \frac{d}{d x} [9 x^{2}]$

Étape 3.3

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9 x^{2}$ par rapport à $x$ est $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{1 + 81 x^{4}} (9 \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 3.4

Associez $9$ et $\frac{1}{1 + 81 x^{4}}$ .

$\frac{9}{1 + 81 x^{4}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{9}{1 + 81 x^{4}} (2 x)$

Étape 3.6

Associez les fractions.

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Étape 3.6.1

Associez $2$ et $\frac{9}{1 + 81 x^{4}}$ .

$\frac{2 \cdot 9}{1 + 81 x^{4}} x$

Étape 3.6.2

Multipliez $2$ par $9$ .

$\frac{18}{1 + 81 x^{4}} x$

Étape 3.6.3

Associez $\frac{18}{1 + 81 x^{4}}$ et $x$ .

$\frac{18 x}{1 + 81 x^{4}}$

Étape 3.6.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{18 x}{81 x^{4} + 1}$