Calcul infinitésimal Exemples

$y = e^{x^{5}} \ln (x)$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = e^{x^{5}}$ et $g (x) = \ln (x)$ .

$e^{x^{5}} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x^{5}}]$

Étape 2

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$e^{x^{5}} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x^{5}}]$

Étape 3

Associez $e^{x^{5}}$ et $\frac{1}{x}$ .

$\frac{e^{x^{5}}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x^{5}}]$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = x^{5}$ .

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Étape 4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{5}$ .

$\frac{e^{x^{5}}}{x} + \ln (x) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{e^{x^{5}}}{x} + \ln (x) (e^{u} \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Étape 4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{5}$ .

$\frac{e^{x^{5}}}{x} + \ln (x) (e^{x^{5}} \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Étape 5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$\frac{e^{x^{5}}}{x} + \ln (x) (e^{x^{5}} (5 x^{4}))$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$5 e^{x^{5}} x^{4} \ln (x) + \frac{e^{x^{5}}}{x}$

Étape 6.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $5 e^{x^{5}} x^{4} \ln (x) + \frac{e^{x^{5}}}{x}$ .

$5 x^{4} e^{x^{5}} \ln (x) + \frac{e^{x^{5}}}{x}$