Calcul infinitésimal Exemples

$y = \cosh (\ln (6 x^{3}))$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cosh (x)$ et $g (x) = \ln (6 x^{3})$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $\ln (6 x^{3})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\cosh (u_{1})] \frac{d}{d x} [\ln (6 x^{3})]$

Étape 1.2

La dérivée de $\cosh (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\sinh (u_{1})$ .

$\sinh (u_{1}) \frac{d}{d x} [\ln (6 x^{3})]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\ln (6 x^{3})$ .

$\sinh (\ln (6 x^{3})) \frac{d}{d x} [\ln (6 x^{3})]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = 6 x^{3}$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $6 x^{3}$ .

$\sinh (\ln (6 x^{3})) (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [6 x^{3}])$

Étape 2.2

La dérivée de $\ln (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $\frac{1}{u_{2}}$ .

$\sinh (\ln (6 x^{3})) (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [6 x^{3}])$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $6 x^{3}$ .

$\sinh (\ln (6 x^{3})) (\frac{1}{6 x^{3}} \frac{d}{d x} [6 x^{3}])$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Associez $\frac{1}{6 x^{3}}$ et $\sinh (\ln (6 x^{3}))$ .

$\frac{\sinh (\ln (6 x^{3}))}{6 x^{3}} \frac{d}{d x} [6 x^{3}]$

Étape 3.2

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 x^{3}$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{\sinh (\ln (6 x^{3}))}{6 x^{3}} (6 \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Étape 3.3

Simplifiez les termes.

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Étape 3.3.1

Associez $6$ et $\frac{\sinh (\ln (6 x^{3}))}{6 x^{3}}$ .

$\frac{6 \sinh (\ln (6 x^{3}))}{6 x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 3.3.2

Annulez le facteur commun de $6$ .

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Étape 3.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{6 \sinh (\ln (6 x^{3}))}{6 x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 3.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sinh (\ln (6 x^{3}))}{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{\sinh (\ln (6 x^{3}))}{x^{3}} (3 x^{2})$

Étape 3.5

Simplifiez les termes.

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Étape 3.5.1

Associez $3$ et $\frac{\sinh (\ln (6 x^{3}))}{x^{3}}$ .

$\frac{3 \sinh (\ln (6 x^{3}))}{x^{3}} x^{2}$

Étape 3.5.2

Associez $\frac{3 \sinh (\ln (6 x^{3}))}{x^{3}}$ et $x^{2}$ .

$\frac{3 \sinh (\ln (6 x^{3})) x^{2}}{x^{3}}$

Étape 3.5.3

Annulez le facteur commun à $x^{2}$ et $x^{3}$ .

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Étape 3.5.3.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $3 \sinh (\ln (6 x^{3})) x^{2}$ .

$\frac{x^{2} (3 \sinh (\ln (6 x^{3})))}{x^{3}}$

Étape 3.5.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.5.3.2.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{3}$ .

$\frac{x^{2} (3 \sinh (\ln (6 x^{3})))}{x^{2} x}$

Étape 3.5.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{2} (3 \sinh (\ln (6 x^{3})))}{x^{2} x}$

Étape 3.5.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{3 \sinh (\ln (6 x^{3}))}{x}$