Calcul infinitésimal Exemples

$y = \ln (\frac{3}{x})$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = \frac{3}{x}$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{3}{x}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{3}{x}]$

Étape 1.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{3}{x}]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{3}{x}$ .

$\frac{1}{\frac{3}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{3}{x}]$

Étape 2

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{3}{x}$ .

$1 \frac{x}{3} \frac{d}{d x} [\frac{3}{x}]$

Étape 3

Multipliez $\frac{x}{3}$ par $1$ .

$\frac{x}{3} \frac{d}{d x} [\frac{3}{x}]$

Étape 4

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{3}{x}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$\frac{x}{3} (3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

Étape 5

Simplifiez les termes.

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Étape 5.1

Associez $3$ et $\frac{x}{3}$ .

$\frac{3 x}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Étape 5.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Étape 5.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Étape 5.3

Réécrivez $\frac{1}{x}$ comme $x^{- 1}$ .

$x \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Étape 6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$x (- x^{- 2})$

Étape 7

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- (x^{1} x^{- 2})$

Étape 8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- x^{1 - 2}$

Étape 9

Soustrayez $2$ de $1$ .

$- x^{- 1}$

Étape 10

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{x}$