Calcul infinitésimal Exemples

$y = \ln (1 - x e^{- x})$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = 1 - x e^{- x}$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $1 - x e^{- x}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [1 - x e^{- x}]$

Étape 1.2

La dérivée de $\ln (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [1 - x e^{- x}]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $1 - x e^{- x}$ .

$\frac{1}{1 - x e^{- x}} \frac{d}{d x} [1 - x e^{- x}]$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - x e^{- x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x e^{- x}]$ .

$\frac{1}{1 - x e^{- x}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x e^{- x}])$

Étape 2.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{1 - x e^{- x}} (0 + \frac{d}{d x} [- x e^{- x}])$

Étape 2.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- x e^{- x}]$ .

$\frac{1}{1 - x e^{- x}} \frac{d}{d x} [- x e^{- x}]$

Étape 2.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x e^{- x}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x e^{- x}]$ .

$\frac{1}{1 - x e^{- x}} (- \frac{d}{d x} [x e^{- x}])$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = e^{- x}$ .

$\frac{1}{1 - x e^{- x}} (- (x \frac{d}{d x} [e^{- x}] + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]))$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - x$ .

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Étape 4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $- x$ .

$\frac{1}{1 - x e^{- x}} (- (x (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]))$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ est $a^{u_{2}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{1}{1 - x e^{- x}} (- (x (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]))$

Étape 4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $- x$ .

$\frac{1}{1 - x e^{- x}} (- (x (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]))$

Étape 5

Différenciez.

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Étape 5.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{1 - x e^{- x}} (- (x (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]))$

Étape 5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{1 - x e^{- x}} (- (x (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]))$

Étape 5.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.3.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1}{1 - x e^{- x}} (- (x (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]))$

Étape 5.3.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $e^{- x}$ .

$\frac{1}{1 - x e^{- x}} (- (x (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]))$

Étape 5.3.3

Réécrivez $- 1 e^{- x}$ comme $- e^{- x}$ .

$\frac{1}{1 - x e^{- x}} (- (x (- e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]))$

Étape 5.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{1 - x e^{- x}} (- (x (- e^{- x}) + e^{- x} \cdot 1))$

Étape 5.5

Multipliez $e^{- x}$ par $1$ .

$\frac{1}{1 - x e^{- x}} (- (x (- e^{- x}) + e^{- x}))$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{1 - x e^{- x}} (- (x (- e^{- x})) - e^{- x})$

Étape 6.2

Associez des termes.

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Étape 6.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{1}{1 - x e^{- x}} (1 (x (e^{- x})) - e^{- x})$

Étape 6.2.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{1}{1 - x e^{- x}} (x e^{- x} - e^{- x})$

Étape 6.3

Réorganisez les facteurs de $\frac{1}{1 - x e^{- x}} (x e^{- x} - e^{- x})$ .

$(x e^{- x} - e^{- x}) \frac{1}{1 - x e^{- x}}$

Étape 6.4

Multipliez $x e^{- x} - e^{- x}$ par $\frac{1}{1 - x e^{- x}}$ .

$\frac{x e^{- x} - e^{- x}}{1 - x e^{- x}}$

Étape 6.5

Factorisez $e^{- x}$ à partir de $x e^{- x} - e^{- x}$ .

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Étape 6.5.1

Factorisez $e^{- x}$ à partir de $x e^{- x}$ .

$\frac{e^{- x} x - e^{- x}}{1 - x e^{- x}}$

Étape 6.5.2

Factorisez $e^{- x}$ à partir de $- e^{- x}$ .

$\frac{e^{- x} x + e^{- x} \cdot - 1}{1 - x e^{- x}}$

Étape 6.5.3

Factorisez $e^{- x}$ à partir de $e^{- x} x + e^{- x} \cdot - 1$ .

$\frac{e^{- x} (x - 1)}{1 - x e^{- x}}$