Calcul infinitésimal Exemples

$y = \ln (\sec (5 x) + \tan (5 x))$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = \sec (5 x) + \tan (5 x)$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $\sec (5 x) + \tan (5 x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\sec (5 x) + \tan (5 x)]$

Étape 1.2

La dérivée de $\ln (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\sec (5 x) + \tan (5 x)]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\sec (5 x) + \tan (5 x)$ .

$\frac{1}{\sec (5 x) + \tan (5 x)} \frac{d}{d x} [\sec (5 x) + \tan (5 x)]$

Étape 2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\sec (5 x) + \tan (5 x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\sec (5 x)] + \frac{d}{d x} [\tan (5 x)]$ .

$\frac{1}{\sec (5 x) + \tan (5 x)} (\frac{d}{d x} [\sec (5 x)] + \frac{d}{d x} [\tan (5 x)])$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sec (x)$ et $g (x) = 5 x$ .

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Étape 3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $5 x$ .

$\frac{1}{\sec (5 x) + \tan (5 x)} (\frac{d}{d u_{2}} [\sec (u_{2})] \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [\tan (5 x)])$

Étape 3.2

La dérivée de $\sec (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $\sec (u_{2}) \tan (u_{2})$ .

$\frac{1}{\sec (5 x) + \tan (5 x)} (\sec (u_{2}) \tan (u_{2}) \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [\tan (5 x)])$

Étape 3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $5 x$ .

$\frac{1}{\sec (5 x) + \tan (5 x)} (\sec (5 x) \tan (5 x) \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [\tan (5 x)])$

Étape 4

Différenciez.

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Étape 4.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{\sec (5 x) + \tan (5 x)} (\sec (5 x) \tan (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\tan (5 x)])$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{\sec (5 x) + \tan (5 x)} (\sec (5 x) \tan (5 x) (5 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\tan (5 x)])$

Étape 4.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.3.1

Multipliez $5$ par $1$ .

$\frac{1}{\sec (5 x) + \tan (5 x)} (\sec (5 x) \tan (5 x) \cdot 5 + \frac{d}{d x} [\tan (5 x)])$

Étape 4.3.2

Déplacez $5$ à gauche de $\sec (5 x) \tan (5 x)$ .

$\frac{1}{\sec (5 x) + \tan (5 x)} (5 \cdot (\sec (5 x) \tan (5 x)) + \frac{d}{d x} [\tan (5 x)])$

Étape 5

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \tan (x)$ et $g (x) = 5 x$ .

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Étape 5.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{3}$ comme $5 x$ .

$\frac{1}{\sec (5 x) + \tan (5 x)} (5 \sec (5 x) \tan (5 x) + \frac{d}{d u_{3}} [\tan (u_{3})] \frac{d}{d x} [5 x])$

Étape 5.2

La dérivée de $\tan (u_{3})$ par rapport à $u_{3}$ est $\sec^{2} (u_{3})$ .

$\frac{1}{\sec (5 x) + \tan (5 x)} (5 \sec (5 x) \tan (5 x) + \sec^{2} (u_{3}) \frac{d}{d x} [5 x])$

Étape 5.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{3}$ par $5 x$ .

$\frac{1}{\sec (5 x) + \tan (5 x)} (5 \sec (5 x) \tan (5 x) + \sec^{2} (5 x) \frac{d}{d x} [5 x])$

Étape 6

Différenciez.

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Étape 6.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{\sec (5 x) + \tan (5 x)} (5 \sec (5 x) \tan (5 x) + \sec^{2} (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x]))$

Étape 6.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{\sec (5 x) + \tan (5 x)} (5 \sec (5 x) \tan (5 x) + \sec^{2} (5 x) (5 \cdot 1))$

Étape 6.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 6.3.1

Multipliez $5$ par $1$ .

$\frac{1}{\sec (5 x) + \tan (5 x)} (5 \sec (5 x) \tan (5 x) + \sec^{2} (5 x) \cdot 5)$

Étape 6.3.2

Déplacez $5$ à gauche de $\sec^{2} (5 x)$ .

$\frac{1}{\sec (5 x) + \tan (5 x)} (5 \sec (5 x) \tan (5 x) + 5 \cdot \sec^{2} (5 x))$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Réorganisez les facteurs de $\frac{1}{\sec (5 x) + \tan (5 x)} (5 \sec (5 x) \tan (5 x) + 5 \sec^{2} (5 x))$ .

$(5 \sec (5 x) \tan (5 x) + 5 \sec^{2} (5 x)) \frac{1}{\sec (5 x) + \tan (5 x)}$

Étape 7.2

Appliquez la propriété distributive.

$5 \sec (5 x) \tan (5 x) \frac{1}{\sec (5 x) + \tan (5 x)} + 5 \sec^{2} (5 x) \frac{1}{\sec (5 x) + \tan (5 x)}$

Étape 7.3

Multipliez $5 \sec (5 x) \tan (5 x) \frac{1}{\sec (5 x) + \tan (5 x)}$ .

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Étape 7.3.1

Associez $\frac{1}{\sec (5 x) + \tan (5 x)}$ et $5$ .

$\frac{5}{\sec (5 x) + \tan (5 x)} \sec (5 x) \tan (5 x) + 5 \sec^{2} (5 x) \frac{1}{\sec (5 x) + \tan (5 x)}$

Étape 7.3.2

Associez $\frac{5}{\sec (5 x) + \tan (5 x)}$ et $\sec (5 x)$ .

$\frac{5 \sec (5 x)}{\sec (5 x) + \tan (5 x)} \tan (5 x) + 5 \sec^{2} (5 x) \frac{1}{\sec (5 x) + \tan (5 x)}$

Étape 7.3.3

Associez $\frac{5 \sec (5 x)}{\sec (5 x) + \tan (5 x)}$ et $\tan (5 x)$ .

$\frac{5 \sec (5 x) \tan (5 x)}{\sec (5 x) + \tan (5 x)} + 5 \sec^{2} (5 x) \frac{1}{\sec (5 x) + \tan (5 x)}$

Étape 7.4

Multipliez $5 \sec^{2} (5 x) \frac{1}{\sec (5 x) + \tan (5 x)}$ .

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Étape 7.4.1

Associez $\frac{1}{\sec (5 x) + \tan (5 x)}$ et $5$ .

$\frac{5 \sec (5 x) \tan (5 x)}{\sec (5 x) + \tan (5 x)} + \frac{5}{\sec (5 x) + \tan (5 x)} \sec^{2} (5 x)$

Étape 7.4.2

Associez $\frac{5}{\sec (5 x) + \tan (5 x)}$ et $\sec^{2} (5 x)$ .

$\frac{5 \sec (5 x) \tan (5 x)}{\sec (5 x) + \tan (5 x)} + \frac{5 \sec^{2} (5 x)}{\sec (5 x) + \tan (5 x)}$

Étape 7.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{5 \sec (5 x) \tan (5 x) + 5 \sec^{2} (5 x)}{\sec (5 x) + \tan (5 x)}$

Étape 7.6

Factorisez $5 \sec (5 x)$ à partir de $5 \sec (5 x) \tan (5 x) + 5 \sec^{2} (5 x)$ .

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Étape 7.6.1

Factorisez $5 \sec (5 x)$ à partir de $5 \sec (5 x) \tan (5 x)$ .

$\frac{5 \sec (5 x) (\tan (5 x)) + 5 \sec^{2} (5 x)}{\sec (5 x) + \tan (5 x)}$

Étape 7.6.2

Factorisez $5 \sec (5 x)$ à partir de $5 \sec^{2} (5 x)$ .

$\frac{5 \sec (5 x) (\tan (5 x)) + 5 \sec (5 x) (\sec (5 x))}{\sec (5 x) + \tan (5 x)}$

Étape 7.6.3

Factorisez $5 \sec (5 x)$ à partir de $5 \sec (5 x) (\tan (5 x)) + 5 \sec (5 x) (\sec (5 x))$ .

$\frac{5 \sec (5 x) (\tan (5 x) + \sec (5 x))}{\sec (5 x) + \tan (5 x)}$