Calcul infinitésimal Exemples

$y = 8 e^{- x} + e^{3 x}$

Étape 1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $8 e^{- x} + e^{3 x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [8 e^{- x}] + \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$ .

$\frac{d}{d x} [8 e^{- x}] + \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d x} [8 e^{- x}]$ .

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Étape 2.1

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8 e^{- x}$ par rapport à $x$ est $8 \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [e^{- x}] + \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - x$ .

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Étape 2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $- x$ .

$8 (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x]) + \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ est $a^{u_{1}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$8 (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x]) + \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$

Étape 2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $- x$ .

$8 (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$

Étape 2.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$8 (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$

Étape 2.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$8 (e^{- x} \cdot - 1) + \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$

Étape 2.6

Déplacez $- 1$ à gauche de $e^{- x}$ .

$8 (- 1 \cdot e^{- x}) + \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$

Étape 2.7

Réécrivez $- 1 e^{- x}$ comme $- e^{- x}$ .

$8 (- e^{- x}) + \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$

Étape 2.8

Multipliez $- 1$ par $8$ .

$- 8 e^{- x} + \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d x} [e^{3 x}]$ .

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 3 x$ .

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Étape 3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $3 x$ .

$- 8 e^{- x} + \frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [3 x]$

Étape 3.1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ est $a^{u_{2}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$- 8 e^{- x} + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [3 x]$

Étape 3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $3 x$ .

$- 8 e^{- x} + e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x]$

Étape 3.2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 8 e^{- x} + e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 8 e^{- x} + e^{3 x} (3 \cdot 1)$

Étape 3.4

Multipliez $3$ par $1$ .

$- 8 e^{- x} + e^{3 x} \cdot 3$

Étape 3.5

Déplacez $3$ à gauche de $e^{3 x}$ .

$- 8 e^{- x} + 3 e^{3 x}$

Étape 4

Remettez les termes dans l’ordre.

$3 e^{3 x} - 8 e^{- x}$