Calcul infinitésimal Exemples

$y = 8 x e^{x} - 8 e^{x}$

Étape 1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $8 x e^{x} - 8 e^{x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [8 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 8 e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [8 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 8 e^{x}]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d x} [8 x e^{x}]$ .

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Étape 2.1

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8 x e^{x}$ par rapport à $x$ est $8 \frac{d}{d x} [x e^{x}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 8 e^{x}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = e^{x}$ .

$8 (x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 8 e^{x}]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$8 (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 8 e^{x}]$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$8 (x e^{x} + e^{x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 8 e^{x}]$

Étape 2.5

Multipliez $e^{x}$ par $1$ .

$8 (x e^{x} + e^{x}) + \frac{d}{d x} [- 8 e^{x}]$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 8 e^{x}]$ .

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Étape 3.1

Comme $- 8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 8 e^{x}$ par rapport à $x$ est $- 8 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$8 (x e^{x} + e^{x}) - 8 \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$8 (x e^{x} + e^{x}) - 8 e^{x}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Appliquez la propriété distributive.

$8 (x e^{x}) + 8 e^{x} - 8 e^{x}$

Étape 4.2

Associez des termes.

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Étape 4.2.1

Soustrayez $8 e^{x}$ de $8 e^{x}$ .

$8 x e^{x} + 0$

Étape 4.2.2

Additionnez $8 x e^{x}$ et $0$ .

$8 x e^{x}$

Étape 4.3

Réorganisez les facteurs de $8 x e^{x}$ .

$8 e^{x} x$

Étape 4.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $8 e^{x} x$ .

$8 x e^{x}$