Calcul infinitésimal Exemples

$y = 3 (\sin (x) + \cos (x)) (\sin (x) - \cos (x))$

Étape 1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 (\sin (x) + \cos (x)) (\sin (x) - \cos (x))$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [(\sin (x) + \cos (x)) (\sin (x) - \cos (x))]$ .

$3 \frac{d}{d x} [(\sin (x) + \cos (x)) (\sin (x) - \cos (x))]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = \sin (x) + \cos (x)$ et $g (x) = \sin (x) - \cos (x)$ .

$3 ((\sin (x) + \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x) - \cos (x)] + (\sin (x) - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)])$

Étape 3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\sin (x) - \cos (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$3 ((\sin (x) + \cos (x)) (\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]) + (\sin (x) - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)])$

Étape 4

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$3 ((\sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]) + (\sin (x) - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)])$

Étape 5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$3 ((\sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) - \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + (\sin (x) - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)])$

Étape 6

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$3 ((\sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) - - \sin (x)) + (\sin (x) - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)])$

Étape 7

Différenciez en utilisant la règle de la somme.

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Étape 7.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$3 ((\sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) + 1 \sin (x)) + (\sin (x) - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)])$

Étape 7.2

Multipliez $\sin (x)$ par $1$ .

$3 ((\sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) + \sin (x)) + (\sin (x) - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)])$

Étape 7.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\sin (x) + \cos (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$3 ((\sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) + \sin (x)) + (\sin (x) - \cos (x)) (\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]))$

Étape 8

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$3 ((\sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) + \sin (x)) + (\sin (x) - \cos (x)) (\cos (x) + \frac{d}{d x} [\cos (x)]))$

Étape 9

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$3 ((\sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) + \sin (x)) + (\sin (x) - \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x)))$

Étape 10

Simplifiez

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Étape 10.1

Appliquez la propriété distributive.

$3 ((\sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) + \sin (x))) + 3 ((\sin (x) - \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x)))$

Étape 10.2

Supprimez les parenthèses.

$3 (\sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) + \sin (x)) + 3 (\sin (x) - \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))$

Étape 10.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$3 (\cos (x) + \sin (x)) (\sin (x) + \cos (x)) + 3 (\cos (x) - \sin (x)) (\sin (x) - \cos (x))$

Étape 10.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$(3 \cos (x) + 3 \sin (x)) (\sin (x) + \cos (x)) + 3 (\cos (x) - \sin (x)) (\sin (x) - \cos (x))$

Étape 10.4.2

Développez $(3 \cos (x) + 3 \sin (x)) (\sin (x) + \cos (x))$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 10.4.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$3 \cos (x) (\sin (x) + \cos (x)) + 3 \sin (x) (\sin (x) + \cos (x)) + 3 (\cos (x) - \sin (x)) (\sin (x) - \cos (x))$

Étape 10.4.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$3 \cos (x) \sin (x) + 3 \cos (x) \cos (x) + 3 \sin (x) (\sin (x) + \cos (x)) + 3 (\cos (x) - \sin (x)) (\sin (x) - \cos (x))$

Étape 10.4.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$3 \cos (x) \sin (x) + 3 \cos (x) \cos (x) + 3 \sin (x) \sin (x) + 3 \sin (x) \cos (x) + 3 (\cos (x) - \sin (x)) (\sin (x) - \cos (x))$

Étape 10.4.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 10.4.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.4.3.1.1

Multipliez $3 \cos (x) \cos (x)$ .

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Étape 10.4.3.1.1.1

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$3 \cos (x) \sin (x) + 3 (\cos^{1} (x) \cos (x)) + 3 \sin (x) \sin (x) + 3 \sin (x) \cos (x) + 3 (\cos (x) - \sin (x)) (\sin (x) - \cos (x))$

Étape 10.4.3.1.1.2

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$3 \cos (x) \sin (x) + 3 (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) + 3 \sin (x) \sin (x) + 3 \sin (x) \cos (x) + 3 (\cos (x) - \sin (x)) (\sin (x) - \cos (x))$

Étape 10.4.3.1.1.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$3 \cos (x) \sin (x) + 3 {\cos (x)}^{1 + 1} + 3 \sin (x) \sin (x) + 3 \sin (x) \cos (x) + 3 (\cos (x) - \sin (x)) (\sin (x) - \cos (x))$

Étape 10.4.3.1.1.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$3 \cos (x) \sin (x) + 3 \cos^{2} (x) + 3 \sin (x) \sin (x) + 3 \sin (x) \cos (x) + 3 (\cos (x) - \sin (x)) (\sin (x) - \cos (x))$

Étape 10.4.3.1.2

Multipliez $3 \sin (x) \sin (x)$ .

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Étape 10.4.3.1.2.1

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$3 \cos (x) \sin (x) + 3 \cos^{2} (x) + 3 (\sin^{1} (x) \sin (x)) + 3 \sin (x) \cos (x) + 3 (\cos (x) - \sin (x)) (\sin (x) - \cos (x))$

Étape 10.4.3.1.2.2

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$3 \cos (x) \sin (x) + 3 \cos^{2} (x) + 3 (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) + 3 \sin (x) \cos (x) + 3 (\cos (x) - \sin (x)) (\sin (x) - \cos (x))$

Étape 10.4.3.1.2.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$3 \cos (x) \sin (x) + 3 \cos^{2} (x) + 3 {\sin (x)}^{1 + 1} + 3 \sin (x) \cos (x) + 3 (\cos (x) - \sin (x)) (\sin (x) - \cos (x))$

Étape 10.4.3.1.2.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$3 \cos (x) \sin (x) + 3 \cos^{2} (x) + 3 \sin^{2} (x) + 3 \sin (x) \cos (x) + 3 (\cos (x) - \sin (x)) (\sin (x) - \cos (x))$

Étape 10.4.3.2

Réorganisez les facteurs de $3 \sin (x) \cos (x)$ .

$3 \cos (x) \sin (x) + 3 \cos^{2} (x) + 3 \sin^{2} (x) + 3 \cos (x) \sin (x) + 3 (\cos (x) - \sin (x)) (\sin (x) - \cos (x))$

Étape 10.4.3.3

Additionnez $3 \cos (x) \sin (x)$ et $3 \cos (x) \sin (x)$ .

$6 \cos (x) \sin (x) + 3 \cos^{2} (x) + 3 \sin^{2} (x) + 3 (\cos (x) - \sin (x)) (\sin (x) - \cos (x))$

Étape 10.4.4

Factorisez $3$ à partir de $3 \cos^{2} (x)$ .

$6 \cos (x) \sin (x) + 3 (\cos^{2} (x)) + 3 \sin^{2} (x) + 3 (\cos (x) - \sin (x)) (\sin (x) - \cos (x))$

Étape 10.4.5

Factorisez $3$ à partir de $3 \sin^{2} (x)$ .

$6 \cos (x) \sin (x) + 3 (\cos^{2} (x)) + 3 (\sin^{2} (x)) + 3 (\cos (x) - \sin (x)) (\sin (x) - \cos (x))$

Étape 10.4.6

Factorisez $3$ à partir de $3 (\cos^{2} (x)) + 3 (\sin^{2} (x))$ .

$6 \cos (x) \sin (x) + 3 (\cos^{2} (x) + \sin^{2} (x)) + 3 (\cos (x) - \sin (x)) (\sin (x) - \cos (x))$

Étape 10.4.7

Réorganisez les termes.

$6 \cos (x) \sin (x) + 3 (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)) + 3 (\cos (x) - \sin (x)) (\sin (x) - \cos (x))$

Étape 10.4.8

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$6 \cos (x) \sin (x) + 3 \cdot 1 + 3 (\cos (x) - \sin (x)) (\sin (x) - \cos (x))$

Étape 10.4.9

Multipliez $3$ par $1$ .

$6 \cos (x) \sin (x) + 3 + 3 (\cos (x) - \sin (x)) (\sin (x) - \cos (x))$

Étape 10.4.10

Appliquez la propriété distributive.

$6 \cos (x) \sin (x) + 3 + (3 \cos (x) + 3 (- \sin (x))) (\sin (x) - \cos (x))$

Étape 10.4.11

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$6 \cos (x) \sin (x) + 3 + (3 \cos (x) - 3 \sin (x)) (\sin (x) - \cos (x))$

Étape 10.4.12

Développez $(3 \cos (x) - 3 \sin (x)) (\sin (x) - \cos (x))$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 10.4.12.1

Appliquez la propriété distributive.

$6 \cos (x) \sin (x) + 3 + 3 \cos (x) (\sin (x) - \cos (x)) - 3 \sin (x) (\sin (x) - \cos (x))$

Étape 10.4.12.2

Appliquez la propriété distributive.

$6 \cos (x) \sin (x) + 3 + 3 \cos (x) \sin (x) + 3 \cos (x) (- \cos (x)) - 3 \sin (x) (\sin (x) - \cos (x))$

Étape 10.4.12.3

Appliquez la propriété distributive.

$6 \cos (x) \sin (x) + 3 + 3 \cos (x) \sin (x) + 3 \cos (x) (- \cos (x)) - 3 \sin (x) \sin (x) - 3 \sin (x) (- \cos (x))$

Étape 10.4.13

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 10.4.13.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.4.13.1.1

Multipliez $3 \cos (x) (- \cos (x))$ .

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Étape 10.4.13.1.1.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$6 \cos (x) \sin (x) + 3 + 3 \cos (x) \sin (x) - 3 \cos (x) \cos (x) - 3 \sin (x) \sin (x) - 3 \sin (x) (- \cos (x))$

Étape 10.4.13.1.1.2

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$6 \cos (x) \sin (x) + 3 + 3 \cos (x) \sin (x) - 3 (\cos^{1} (x) \cos (x)) - 3 \sin (x) \sin (x) - 3 \sin (x) (- \cos (x))$

Étape 10.4.13.1.1.3

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$6 \cos (x) \sin (x) + 3 + 3 \cos (x) \sin (x) - 3 (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) - 3 \sin (x) \sin (x) - 3 \sin (x) (- \cos (x))$

Étape 10.4.13.1.1.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$6 \cos (x) \sin (x) + 3 + 3 \cos (x) \sin (x) - 3 {\cos (x)}^{1 + 1} - 3 \sin (x) \sin (x) - 3 \sin (x) (- \cos (x))$

Étape 10.4.13.1.1.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$6 \cos (x) \sin (x) + 3 + 3 \cos (x) \sin (x) - 3 \cos^{2} (x) - 3 \sin (x) \sin (x) - 3 \sin (x) (- \cos (x))$

Étape 10.4.13.1.2

Multipliez $- 3 \sin (x) \sin (x)$ .

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Étape 10.4.13.1.2.1

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$6 \cos (x) \sin (x) + 3 + 3 \cos (x) \sin (x) - 3 \cos^{2} (x) - 3 (\sin^{1} (x) \sin (x)) - 3 \sin (x) (- \cos (x))$

Étape 10.4.13.1.2.2

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$6 \cos (x) \sin (x) + 3 + 3 \cos (x) \sin (x) - 3 \cos^{2} (x) - 3 (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) - 3 \sin (x) (- \cos (x))$

Étape 10.4.13.1.2.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$6 \cos (x) \sin (x) + 3 + 3 \cos (x) \sin (x) - 3 \cos^{2} (x) - 3 {\sin (x)}^{1 + 1} - 3 \sin (x) (- \cos (x))$

Étape 10.4.13.1.2.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$6 \cos (x) \sin (x) + 3 + 3 \cos (x) \sin (x) - 3 \cos^{2} (x) - 3 \sin^{2} (x) - 3 \sin (x) (- \cos (x))$

Étape 10.4.13.1.3

Multipliez $- 1$ par $- 3$ .

$6 \cos (x) \sin (x) + 3 + 3 \cos (x) \sin (x) - 3 \cos^{2} (x) - 3 \sin^{2} (x) + 3 \sin (x) \cos (x)$

Étape 10.4.13.2

Réorganisez les facteurs de $3 \sin (x) \cos (x)$ .

$6 \cos (x) \sin (x) + 3 + 3 \cos (x) \sin (x) - 3 \cos^{2} (x) - 3 \sin^{2} (x) + 3 \cos (x) \sin (x)$

Étape 10.4.13.3

Additionnez $3 \cos (x) \sin (x)$ et $3 \cos (x) \sin (x)$ .

$6 \cos (x) \sin (x) + 3 + 6 \cos (x) \sin (x) - 3 \cos^{2} (x) - 3 \sin^{2} (x)$

Étape 10.4.14

Factorisez $- 3$ à partir de $- 3 \cos^{2} (x)$ .

$6 \cos (x) \sin (x) + 3 + 6 \cos (x) \sin (x) - 3 (\cos^{2} (x)) - 3 \sin^{2} (x)$

Étape 10.4.15

Factorisez $- 3$ à partir de $- 3 \sin^{2} (x)$ .

$6 \cos (x) \sin (x) + 3 + 6 \cos (x) \sin (x) - 3 (\cos^{2} (x)) - 3 (\sin^{2} (x))$

Étape 10.4.16

Factorisez $- 3$ à partir de $- 3 (\cos^{2} (x)) - 3 (\sin^{2} (x))$ .

$6 \cos (x) \sin (x) + 3 + 6 \cos (x) \sin (x) - 3 (\cos^{2} (x) + \sin^{2} (x))$

Étape 10.4.17

Réorganisez les termes.

$6 \cos (x) \sin (x) + 3 + 6 \cos (x) \sin (x) - 3 (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x))$

Étape 10.4.18

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$6 \cos (x) \sin (x) + 3 + 6 \cos (x) \sin (x) - 3 \cdot 1$

Étape 10.4.19

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$6 \cos (x) \sin (x) + 3 + 6 \cos (x) \sin (x) - 3$

Étape 10.5

Associez les termes opposés dans $6 \cos (x) \sin (x) + 3 + 6 \cos (x) \sin (x) - 3$ .

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Étape 10.5.1

Soustrayez $3$ de $3$ .

$6 \cos (x) \sin (x) + 6 \cos (x) \sin (x) + 0$

Étape 10.5.2

Additionnez $6 \cos (x) \sin (x) + 6 \cos (x) \sin (x)$ et $0$ .

$6 \cos (x) \sin (x) + 6 \cos (x) \sin (x)$

Étape 10.6

Additionnez $6 \cos (x) \sin (x)$ et $6 \cos (x) \sin (x)$ .

$12 \cos (x) \sin (x)$