Calcul infinitésimal Exemples

$y = 2 x \cos (x^{2})$

Étape 1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x \cos (x^{2})$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x \cos (x^{2})]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x \cos (x^{2})]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = \cos (x^{2})$ .

$2 (x \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})] + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = x^{2}$ .

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Étape 3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2}$ .

$2 (x (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.2

La dérivée de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $- \sin (u)$ .

$2 (x (- \sin (u) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$2 (x (- \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 4.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 (x (- \sin (x^{2}) (2 x)) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$2 (x (- 2 \sin (x^{2}) x) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 5

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$2 (x^{1} x (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 6

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$2 (x^{1} x^{1} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 (x^{1 + 1} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 8

Additionnez $1$ et $1$ .

$2 (x^{2} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 (x^{2} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) \cdot 1)$

Étape 10

Multipliez $\cos (x^{2})$ par $1$ .

$2 (x^{2} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}))$

Étape 11

Simplifiez

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Étape 11.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 (x^{2} (- 2 \sin (x^{2}))) + 2 \cos (x^{2})$

Étape 11.2

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$- 4 x^{2} \sin (x^{2}) + 2 \cos (x^{2})$