Calcul infinitésimal Exemples

$y = 5 x^{\frac{2}{5}} - \frac{3}{x^{4}} + 6 \sqrt[3]{x^{2}}$

Étape 1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 x^{\frac{2}{5}} - \frac{3}{x^{4}} + 6 \sqrt[3]{x^{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [5 x^{\frac{2}{5}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [6 \sqrt[3]{x^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{\frac{2}{5}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [6 \sqrt[3]{x^{2}}]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d x} [5 x^{\frac{2}{5}}]$ .

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Étape 2.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x^{\frac{2}{5}}$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{5}}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{5}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [6 \sqrt[3]{x^{2}}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{2}{5}$ .

$5 (\frac{2}{5} x^{\frac{2}{5} - 1}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [6 \sqrt[3]{x^{2}}]$

Étape 2.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$5 (\frac{2}{5} x^{\frac{2}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [6 \sqrt[3]{x^{2}}]$

Étape 2.4

Associez $- 1$ et $\frac{5}{5}$ .

$5 (\frac{2}{5} x^{\frac{2}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [6 \sqrt[3]{x^{2}}]$

Étape 2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$5 (\frac{2}{5} x^{\frac{2 - 1 \cdot 5}{5}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [6 \sqrt[3]{x^{2}}]$

Étape 2.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.6.1

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$5 (\frac{2}{5} x^{\frac{2 - 5}{5}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [6 \sqrt[3]{x^{2}}]$

Étape 2.6.2

Soustrayez $5$ de $2$ .

$5 (\frac{2}{5} x^{\frac{- 3}{5}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [6 \sqrt[3]{x^{2}}]$

Étape 2.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$5 (\frac{2}{5} x^{- \frac{3}{5}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [6 \sqrt[3]{x^{2}}]$

Étape 2.8

Associez $\frac{2}{5}$ et $x^{- \frac{3}{5}}$ .

$5 \frac{2 x^{- \frac{3}{5}}}{5} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [6 \sqrt[3]{x^{2}}]$

Étape 2.9

Associez $5$ et $\frac{2 x^{- \frac{3}{5}}}{5}$ .

$\frac{5 (2 x^{- \frac{3}{5}})}{5} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [6 \sqrt[3]{x^{2}}]$

Étape 2.10

Multipliez $2$ par $5$ .

$\frac{10 x^{- \frac{3}{5}}}{5} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [6 \sqrt[3]{x^{2}}]$

Étape 2.11

Placez $x^{- \frac{3}{5}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{10}{5 x^{\frac{3}{5}}} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [6 \sqrt[3]{x^{2}}]$

Étape 2.12

Factorisez $5$ à partir de $10$ .

$\frac{5 \cdot 2}{5 x^{\frac{3}{5}}} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [6 \sqrt[3]{x^{2}}]$

Étape 2.13

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.13.1

Factorisez $5$ à partir de $5 x^{\frac{3}{5}}$ .

$\frac{5 \cdot 2}{5 (x^{\frac{3}{5}})} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [6 \sqrt[3]{x^{2}}]$

Étape 2.13.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 \cdot 2}{5 x^{\frac{3}{5}}} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [6 \sqrt[3]{x^{2}}]$

Étape 2.13.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2}{x^{\frac{3}{5}}} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [6 \sqrt[3]{x^{2}}]$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{4}}]$ .

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Étape 3.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{3}{x^{4}}$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$ .

$\frac{2}{x^{\frac{3}{5}}} - 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [6 \sqrt[3]{x^{2}}]$

Étape 3.2

Réécrivez $\frac{1}{x^{4}}$ comme ${(x^{4})}^{- 1}$ .

$\frac{2}{x^{\frac{3}{5}}} - 3 \frac{d}{d x} [{(x^{4})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [6 \sqrt[3]{x^{2}}]$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{4}$ .

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Étape 3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{4}$ .

$\frac{2}{x^{\frac{3}{5}}} - 3 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [6 \sqrt[3]{x^{2}}]$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$\frac{2}{x^{\frac{3}{5}}} - 3 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [6 \sqrt[3]{x^{2}}]$

Étape 3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{4}$ .

$\frac{2}{x^{\frac{3}{5}}} - 3 (- {(x^{4})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [6 \sqrt[3]{x^{2}}]$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$\frac{2}{x^{\frac{3}{5}}} - 3 (- {(x^{4})}^{- 2} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [6 \sqrt[3]{x^{2}}]$

Étape 3.5

Multipliez les exposants dans ${(x^{4})}^{- 2}$ .

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Étape 3.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{x^{\frac{3}{5}}} - 3 (- x^{4 \cdot - 2} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [6 \sqrt[3]{x^{2}}]$

Étape 3.5.2

Multipliez $4$ par $- 2$ .

$\frac{2}{x^{\frac{3}{5}}} - 3 (- x^{- 8} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [6 \sqrt[3]{x^{2}}]$

Étape 3.6

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$\frac{2}{x^{\frac{3}{5}}} - 3 (- 4 x^{- 8} x^{3}) + \frac{d}{d x} [6 \sqrt[3]{x^{2}}]$

Étape 3.7

Multipliez $x^{- 8}$ par $x^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.7.1

Déplacez $x^{3}$ .

$\frac{2}{x^{\frac{3}{5}}} - 3 (- 4 (x^{3} x^{- 8})) + \frac{d}{d x} [6 \sqrt[3]{x^{2}}]$

Étape 3.7.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2}{x^{\frac{3}{5}}} - 3 (- 4 x^{3 - 8}) + \frac{d}{d x} [6 \sqrt[3]{x^{2}}]$

Étape 3.7.3

Soustrayez $8$ de $3$ .

$\frac{2}{x^{\frac{3}{5}}} - 3 (- 4 x^{- 5}) + \frac{d}{d x} [6 \sqrt[3]{x^{2}}]$

Étape 3.8

Multipliez $- 4$ par $- 3$ .

$\frac{2}{x^{\frac{3}{5}}} + 12 x^{- 5} + \frac{d}{d x} [6 \sqrt[3]{x^{2}}]$

Étape 4

Évaluez $\frac{d}{d x} [6 \sqrt[3]{x^{2}}]$ .

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Étape 4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{x^{2}}$ comme $x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{2}{x^{\frac{3}{5}}} + 12 x^{- 5} + \frac{d}{d x} [6 x^{\frac{2}{3}}]$

Étape 4.2

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 x^{\frac{2}{3}}$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$ .

$\frac{2}{x^{\frac{3}{5}}} + 12 x^{- 5} + 6 \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

Étape 4.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{x^{\frac{3}{5}}} + 12 x^{- 5} + 6 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})$

Étape 4.4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{x^{\frac{3}{5}}} + 12 x^{- 5} + 6 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Étape 4.5

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{x^{\frac{3}{5}}} + 12 x^{- 5} + 6 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Étape 4.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2}{x^{\frac{3}{5}}} + 12 x^{- 5} + 6 (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}})$

Étape 4.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.7.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{2}{x^{\frac{3}{5}}} + 12 x^{- 5} + 6 (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}})$

Étape 4.7.2

Soustrayez $3$ de $2$ .

$\frac{2}{x^{\frac{3}{5}}} + 12 x^{- 5} + 6 (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}})$

Étape 4.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{2}{x^{\frac{3}{5}}} + 12 x^{- 5} + 6 (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}})$

Étape 4.9

Associez $\frac{2}{3}$ et $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$\frac{2}{x^{\frac{3}{5}}} + 12 x^{- 5} + 6 \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Étape 4.10

Associez $6$ et $\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ .

$\frac{2}{x^{\frac{3}{5}}} + 12 x^{- 5} + \frac{6 (2 x^{- \frac{1}{3}})}{3}$

Étape 4.11

Multipliez $2$ par $6$ .

$\frac{2}{x^{\frac{3}{5}}} + 12 x^{- 5} + \frac{12 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Étape 4.12

Placez $x^{- \frac{1}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{x^{\frac{3}{5}}} + 12 x^{- 5} + \frac{12}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Étape 4.13

Factorisez $3$ à partir de $12$ .

$\frac{2}{x^{\frac{3}{5}}} + 12 x^{- 5} + \frac{3 \cdot 4}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Étape 4.14

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.14.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{2}{x^{\frac{3}{5}}} + 12 x^{- 5} + \frac{3 \cdot 4}{3 (x^{\frac{1}{3}})}$

Étape 4.14.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2}{x^{\frac{3}{5}}} + 12 x^{- 5} + \frac{3 \cdot 4}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Étape 4.14.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2}{x^{\frac{3}{5}}} + 12 x^{- 5} + \frac{4}{x^{\frac{1}{3}}}$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{x^{\frac{3}{5}}} + 12 \frac{1}{x^{5}} + \frac{4}{x^{\frac{1}{3}}}$

Étape 5.2

Associez $12$ et $\frac{1}{x^{5}}$ .

$\frac{2}{x^{\frac{3}{5}}} + \frac{12}{x^{5}} + \frac{4}{x^{\frac{1}{3}}}$

Étape 5.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{12}{x^{5}} + \frac{2}{x^{\frac{3}{5}}} + \frac{4}{x^{\frac{1}{3}}}$