Calcul infinitésimal Exemples

$y = 400 (15 - x^{2}) (3 x - 2)$

Étape 1

Comme $400$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $400 (15 - x^{2}) (3 x - 2)$ par rapport à $x$ est $400 \frac{d}{d x} [(15 - x^{2}) (3 x - 2)]$ .

$400 \frac{d}{d x} [(15 - x^{2}) (3 x - 2)]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = 15 - x^{2}$ et $g (x) = 3 x - 2$ .

$400 ((15 - x^{2}) \frac{d}{d x} [3 x - 2] + (3 x - 2) \frac{d}{d x} [15 - x^{2}])$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x - 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$400 ((15 - x^{2}) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]) + (3 x - 2) \frac{d}{d x} [15 - x^{2}])$

Étape 3.2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$400 ((15 - x^{2}) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) + (3 x - 2) \frac{d}{d x} [15 - x^{2}])$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$400 ((15 - x^{2}) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]) + (3 x - 2) \frac{d}{d x} [15 - x^{2}])$

Étape 3.4

Multipliez $3$ par $1$ .

$400 ((15 - x^{2}) (3 + \frac{d}{d x} [- 2]) + (3 x - 2) \frac{d}{d x} [15 - x^{2}])$

Étape 3.5

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$400 ((15 - x^{2}) (3 + 0) + (3 x - 2) \frac{d}{d x} [15 - x^{2}])$

Étape 3.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.6.1

Additionnez $3$ et $0$ .

$400 ((15 - x^{2}) \cdot 3 + (3 x - 2) \frac{d}{d x} [15 - x^{2}])$

Étape 3.6.2

Déplacez $3$ à gauche de $15 - x^{2}$ .

$400 (3 \cdot (15 - x^{2}) + (3 x - 2) \frac{d}{d x} [15 - x^{2}])$

Étape 3.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $15 - x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [15] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$400 (3 (15 - x^{2}) + (3 x - 2) (\frac{d}{d x} [15] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]))$

Étape 3.8

Comme $15$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $15$ par rapport à $x$ est $0$ .

$400 (3 (15 - x^{2}) + (3 x - 2) (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]))$

Étape 3.9

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$400 (3 (15 - x^{2}) + (3 x - 2) \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Étape 3.10

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$400 (3 (15 - x^{2}) + (3 x - 2) (- \frac{d}{d x} [x^{2}]))$

Étape 3.11

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$400 (3 (15 - x^{2}) + (3 x - 2) (- (2 x)))$

Étape 3.12

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$400 (3 (15 - x^{2}) + (3 x - 2) (- 2 x))$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Appliquez la propriété distributive.

$400 (3 \cdot 15 + 3 (- x^{2}) + (3 x - 2) (- 2 x))$

Étape 4.2

Appliquez la propriété distributive.

$400 (3 \cdot 15 + 3 (- x^{2}) + 3 x (- 2 x) - 2 (- 2 x))$

Étape 4.3

Appliquez la propriété distributive.

$400 (3 \cdot 15) + 400 (3 (- x^{2})) + 400 (3 x (- 2 x)) + 400 (- 2 (- 2 x))$

Étape 4.4

Associez des termes.

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Étape 4.4.1

Multipliez $3$ par $15$ .

$400 \cdot 45 + 400 (3 (- x^{2})) + 400 (3 x (- 2 x)) + 400 (- 2 (- 2 x))$

Étape 4.4.2

Multipliez $400$ par $45$ .

$18000 + 400 (3 (- x^{2})) + 400 (3 x (- 2 x)) + 400 (- 2 (- 2 x))$

Étape 4.4.3

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$18000 + 400 (- 3 x^{2}) + 400 (3 x (- 2 x)) + 400 (- 2 (- 2 x))$

Étape 4.4.4

Multipliez $- 3$ par $400$ .

$18000 - 1200 x^{2} + 400 (3 x (- 2 x)) + 400 (- 2 (- 2 x))$

Étape 4.4.5

Multipliez $- 2$ par $3$ .

$18000 - 1200 x^{2} + 400 (- 6 x \cdot x) + 400 (- 2 (- 2 x))$

Étape 4.4.6

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$18000 - 1200 x^{2} + 400 (- 6 (x^{1} x)) + 400 (- 2 (- 2 x))$

Étape 4.4.7

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$18000 - 1200 x^{2} + 400 (- 6 (x^{1} x^{1})) + 400 (- 2 (- 2 x))$

Étape 4.4.8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$18000 - 1200 x^{2} + 400 (- 6 x^{1 + 1}) + 400 (- 2 (- 2 x))$

Étape 4.4.9

Additionnez $1$ et $1$ .

$18000 - 1200 x^{2} + 400 (- 6 x^{2}) + 400 (- 2 (- 2 x))$

Étape 4.4.10

Multipliez $- 6$ par $400$ .

$18000 - 1200 x^{2} - 2400 x^{2} + 400 (- 2 (- 2 x))$

Étape 4.4.11

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$18000 - 1200 x^{2} - 2400 x^{2} + 400 (4 x)$

Étape 4.4.12

Multipliez $4$ par $400$ .

$18000 - 1200 x^{2} - 2400 x^{2} + 1600 x$

Étape 4.4.13

Soustrayez $2400 x^{2}$ de $- 1200 x^{2}$ .

$18000 - 3600 x^{2} + 1600 x$

Étape 4.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$- 3600 x^{2} + 1600 x + 18000$