Calcul infinitésimal Exemples

$e^{x y^{2}} + \ln (y + z)$

Étape 1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $e^{x y^{2}} + \ln (y + z)$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [e^{x y^{2}}] + \frac{d}{d y} [\ln (y + z)]$ .

$\frac{d}{d y} [e^{x y^{2}}] + \frac{d}{d y} [\ln (y + z)]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d y} [e^{x y^{2}}]$ .

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ est $f' (g (y)) g' (y)$ où $f (y) = e^{y}$ et $g (y) = x y^{2}$ .

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Étape 2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $x y^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d y} [x y^{2}] + \frac{d}{d y} [\ln (y + z)]$

Étape 2.1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ est $a^{u_{1}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d y} [x y^{2}] + \frac{d}{d y} [\ln (y + z)]$

Étape 2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $x y^{2}$ .

$e^{x y^{2}} \frac{d}{d y} [x y^{2}] + \frac{d}{d y} [\ln (y + z)]$

Étape 2.2

Comme $x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $x y^{2}$ par rapport à $y$ est $x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$e^{x y^{2}} (x \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [\ln (y + z)]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$e^{x y^{2}} (x (2 y)) + \frac{d}{d y} [\ln (y + z)]$

Étape 2.4

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$e^{x y^{2}} (2 x y) + \frac{d}{d y} [\ln (y + z)]$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d y} [\ln (y + z)]$ .

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ est $f' (g (y)) g' (y)$ où $f (y) = \ln (y)$ et $g (y) = y + z$ .

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Étape 3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $y + z$ .

$e^{x y^{2}} (2 x y) + \frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d y} [y + z]$

Étape 3.1.2

La dérivée de $\ln (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $\frac{1}{u_{2}}$ .

$e^{x y^{2}} (2 x y) + \frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d y} [y + z]$

Étape 3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $y + z$ .

$e^{x y^{2}} (2 x y) + \frac{1}{y + z} \frac{d}{d y} [y + z]$

Étape 3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y + z$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [z]$ .

$e^{x y^{2}} (2 x y) + \frac{1}{y + z} (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [z])$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$e^{x y^{2}} (2 x y) + \frac{1}{y + z} (1 + \frac{d}{d y} [z])$

Étape 3.4

Comme $z$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $z$ par rapport à $y$ est $0$ .

$e^{x y^{2}} (2 x y) + \frac{1}{y + z} (1 + 0)$

Étape 3.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$e^{x y^{2}} (2 x y) + \frac{1}{y + z} \cdot 1$

Étape 3.6

Multipliez $\frac{1}{y + z}$ par $1$ .

$e^{x y^{2}} (2 x y) + \frac{1}{y + z}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Associez des termes.

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Étape 4.1.1

Pour écrire $e^{x y^{2}} (2 x y)$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{y + z}{y + z}$ .

$\frac{e^{x y^{2}} (2 x y) (y + z)}{y + z} + \frac{1}{y + z}$

Étape 4.1.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{e^{x y^{2}} (2 x y) (y + z) + 1}{y + z}$

Étape 4.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{2 e^{x y^{2}} x y (y + z) + 1}{y + z}$