Calcul infinitésimal Exemples

$y = x \arcsin (x) + \sqrt{1 - x^{2}}$

Étape 1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x \arcsin (x) + \sqrt{1 - x^{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x \arcsin (x)] + \frac{d}{d x} [\sqrt{1 - x^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [x \arcsin (x)] + \frac{d}{d x} [\sqrt{1 - x^{2}}]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d x} [x \arcsin (x)]$ .

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = \arcsin (x)$ .

$x \frac{d}{d x} [\arcsin (x)] + \arcsin (x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sqrt{1 - x^{2}}]$

Étape 2.2

La dérivée de $\arcsin (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ .

$x \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arcsin (x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sqrt{1 - x^{2}}]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arcsin (x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\sqrt{1 - x^{2}}]$

Étape 2.4

Associez $x$ et $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ .

$\frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arcsin (x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\sqrt{1 - x^{2}}]$

Étape 2.5

Multipliez $\arcsin (x)$ par $1$ .

$\frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arcsin (x) + \frac{d}{d x} [\sqrt{1 - x^{2}}]$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d x} [\sqrt{1 - x^{2}}]$ .

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Étape 3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{1 - x^{2}}$ comme ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arcsin (x) + \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = 1 - x^{2}$ .

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Étape 3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $1 - x^{2}$ .

$\frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arcsin (x) + \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arcsin (x) + \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Étape 3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $1 - x^{2}$ .

$\frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arcsin (x) + \frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Étape 3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arcsin (x) + \frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Étape 3.4

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arcsin (x) + \frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Étape 3.5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arcsin (x) + \frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arcsin (x) + \frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - (2 x))$

Étape 3.7

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arcsin (x) + \frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 - (2 x))$

Étape 3.8

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arcsin (x) + \frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 - (2 x))$

Étape 3.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arcsin (x) + \frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 - (2 x))$

Étape 3.10

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.10.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arcsin (x) + \frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 - (2 x))$

Étape 3.10.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arcsin (x) + \frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} (0 - (2 x))$

Étape 3.11

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arcsin (x) + \frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} (0 - (2 x))$

Étape 3.12

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arcsin (x) + \frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} (0 - 2 x)$

Étape 3.13

Soustrayez $2 x$ de $0$ .

$\frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arcsin (x) + \frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} (- 2 x)$

Étape 3.14

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arcsin (x) + \frac{{(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} (- 2 x)$

Étape 3.15

Associez $- 2$ et $\frac{{(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arcsin (x) + \frac{- 2 {(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} x$

Étape 3.16

Associez $\frac{- 2 {(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ et $x$ .

$\frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arcsin (x) + \frac{- 2 {(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} x}{2}$

Étape 3.17

Placez ${(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arcsin (x) + \frac{- 2 x}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 3.18

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x$ .

$\frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arcsin (x) + \frac{2 (- x)}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 3.19

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.19.1

Factorisez $2$ à partir de $2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arcsin (x) + \frac{2 (- x)}{2 ({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

Étape 3.19.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arcsin (x) + \frac{2 (- x)}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 3.19.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arcsin (x) + \frac{- x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 3.20

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arcsin (x) - \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} - \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \arcsin (x)$

Étape 4.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.2.1.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{x}{\sqrt{1^{2} - x^{2}}} - \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \arcsin (x)$

Étape 4.2.1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 1$ et $b = x$ .

$\frac{x}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}} - \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \arcsin (x)$

Étape 4.2.2

Multipliez $\frac{x}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ par $\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ .

$\frac{x}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}} \cdot \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}} - \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \arcsin (x)$

Étape 4.2.3

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.2.3.1

Multipliez $\frac{x}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ par $\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ .

$\frac{x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}} - \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \arcsin (x)$

Étape 4.2.3.2

Élevez $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ à la puissance $1$ .

$\frac{x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}} - \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \arcsin (x)$

Étape 4.2.3.3

Élevez $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ à la puissance $1$ .

$\frac{x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1} {\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1}} - \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \arcsin (x)$

Étape 4.2.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1 + 1}} - \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \arcsin (x)$

Étape 4.2.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{2}} - \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \arcsin (x)$

Étape 4.2.3.6

Réécrivez ${\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{2}$ comme $(1 + x) (1 - x)$ .

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Étape 4.2.3.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ comme ${((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{({((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}} - \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \arcsin (x)$

Étape 4.2.3.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} - \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \arcsin (x)$

Étape 4.2.3.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{((1 + x) (1 - x))}^{\frac{2}{2}}} - \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \arcsin (x)$

Étape 4.2.3.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.3.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{((1 + x) (1 - x))}^{\frac{2}{2}}} - \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \arcsin (x)$

Étape 4.2.3.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{((1 + x) (1 - x))}^{1}} - \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \arcsin (x)$

Étape 4.2.3.6.5

Simplifiez

$\frac{x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)} - \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \arcsin (x)$

Étape 4.3

Pour écrire $\frac{x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)} \cdot \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \arcsin (x)$

Étape 4.4

Pour écrire $- \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{(1 + x) (1 - x)}{(1 + x) (1 - x)}$ .

$\frac{x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)} \cdot \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{(1 + x) (1 - x)}{(1 + x) (1 - x)} + \arcsin (x)$

Étape 4.5

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(1 + x) (1 - x) {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.5.1

Multipliez $\frac{x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}$ par $\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x \sqrt{(1 + x) (1 - x)} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{(1 + x) (1 - x) {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{(1 + x) (1 - x)}{(1 + x) (1 - x)} + \arcsin (x)$

Étape 4.5.2

Multipliez $\frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ par $\frac{(1 + x) (1 - x)}{(1 + x) (1 - x)}$ .

$\frac{x \sqrt{(1 + x) (1 - x)} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{(1 + x) (1 - x) {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x ((1 + x) (1 - x))}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} ((1 + x) (1 - x))} + \arcsin (x)$

Étape 4.5.3

Réorganisez les facteurs de $(1 + x) (1 - x) {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x \sqrt{(1 + x) (1 - x)} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x) (1 - x)} - \frac{x ((1 + x) (1 - x))}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} ((1 + x) (1 - x))} + \arcsin (x)$

Étape 4.5.4

Réorganisez les facteurs de ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} ((1 + x) (1 - x))$ .

$\frac{x \sqrt{(1 + x) (1 - x)} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x) (1 - x)} - \frac{x ((1 + x) (1 - x))}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x) (1 - x)} + \arcsin (x)$

Étape 4.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x \sqrt{(1 + x) (1 - x)} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x ((1 + x) (1 - x))}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x) (1 - x)} + \arcsin (x)$

Étape 4.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.7.1

Factorisez $x$ à partir de $x \sqrt{(1 + x) (1 - x)} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x ((1 + x) (1 - x))$ .

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Étape 4.7.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x \sqrt{(1 + x) (1 - x)} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x (\sqrt{(1 + x) (1 - x)} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}) - x ((1 + x) (1 - x))}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x) (1 - x)} + \arcsin (x)$

Étape 4.7.1.2

Factorisez $x$ à partir de $- x ((1 + x) (1 - x))$ .

$\frac{x (\sqrt{(1 + x) (1 - x)} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}) + x (- ((1 + x) (1 - x)))}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x) (1 - x)} + \arcsin (x)$

Étape 4.7.1.3

Factorisez $x$ à partir de $x (\sqrt{(1 + x) (1 - x)} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}) + x (- ((1 + x) (1 - x)))$ .

$\frac{x (\sqrt{(1 + x) (1 - x)} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - ((1 + x) (1 - x)))}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x) (1 - x)} + \arcsin (x)$

Étape 4.7.2

Développez $(1 + x) (1 - x)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.7.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x (\sqrt{(1 + x) (1 - x)} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 (1 - x) + x (1 - x)))}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x) (1 - x)} + \arcsin (x)$

Étape 4.7.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x (\sqrt{(1 + x) (1 - x)} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 \cdot 1 + 1 (- x) + x (1 - x)))}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x) (1 - x)} + \arcsin (x)$

Étape 4.7.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x (\sqrt{(1 + x) (1 - x)} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 \cdot 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x)))}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x) (1 - x)} + \arcsin (x)$

Étape 4.7.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.7.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.7.3.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$\frac{x (\sqrt{(1 + x) (1 - x)} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x)))}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x) (1 - x)} + \arcsin (x)$

Étape 4.7.3.1.2

Multipliez $- x$ par $1$ .

$\frac{x (\sqrt{(1 + x) (1 - x)} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 - x + x \cdot 1 + x (- x)))}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x) (1 - x)} + \arcsin (x)$

Étape 4.7.3.1.3

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{x (\sqrt{(1 + x) (1 - x)} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 - x + x + x (- x)))}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x) (1 - x)} + \arcsin (x)$

Étape 4.7.3.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{x (\sqrt{(1 + x) (1 - x)} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 - x + x - x \cdot x))}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x) (1 - x)} + \arcsin (x)$

Étape 4.7.3.1.5

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.7.3.1.5.1

Déplacez $x$ .

$\frac{x (\sqrt{(1 + x) (1 - x)} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 - x + x - (x \cdot x)))}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x) (1 - x)} + \arcsin (x)$

Étape 4.7.3.1.5.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{x (\sqrt{(1 + x) (1 - x)} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 - x + x - x^{2}))}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x) (1 - x)} + \arcsin (x)$

Étape 4.7.3.2

Additionnez $- x$ et $x$ .

$\frac{x (\sqrt{(1 + x) (1 - x)} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 + 0 - x^{2}))}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x) (1 - x)} + \arcsin (x)$

Étape 4.7.3.3

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{x (\sqrt{(1 + x) (1 - x)} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 - x^{2}))}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x) (1 - x)} + \arcsin (x)$

Étape 4.7.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x (\sqrt{(1 + x) (1 - x)} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot 1 - - x^{2})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x) (1 - x)} + \arcsin (x)$

Étape 4.7.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{x (\sqrt{(1 + x) (1 - x)} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - 1 - - x^{2})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x) (1 - x)} + \arcsin (x)$

Étape 4.7.6

Multipliez $- - x^{2}$ .

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Étape 4.7.6.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{x (\sqrt{(1 + x) (1 - x)} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - 1 + 1 x^{2})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x) (1 - x)} + \arcsin (x)$

Étape 4.7.6.2

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$\frac{x (\sqrt{(1 + x) (1 - x)} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - 1 + x^{2})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x) (1 - x)} + \arcsin (x)$

Étape 4.8

Pour écrire $\arcsin (x)$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{(1 + x) (1 - x) {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{(1 + x) (1 - x) {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x (\sqrt{(1 + x) (1 - x)} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - 1 + x^{2})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x) (1 - x)} + \arcsin (x) \cdot \frac{(1 + x) (1 - x) {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{(1 + x) (1 - x) {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.9

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(1 + x) (1 - x) {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.9.1

Associez $\arcsin (x)$ et $\frac{(1 + x) (1 - x) {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{(1 + x) (1 - x) {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x (\sqrt{(1 + x) (1 - x)} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - 1 + x^{2})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x) (1 - x)} + \frac{\arcsin (x) ((1 + x) (1 - x) {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{(1 + x) (1 - x) {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.9.2

Réorganisez les facteurs de $(1 + x) (1 - x) {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

Étape 4.10

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x (\sqrt{(1 + x) (1 - x)} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - 1 + x^{2}) + \arcsin (x) ((1 + x) (1 - x) {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Étape 4.11

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.11.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ comme ${((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x ({((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - 1 + x^{2}) + \arcsin (x) ((1 + x) (1 - x) {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Étape 4.11.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.11.2.1

Développez $(1 + x) (1 - x)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.11.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x ({(1 (1 - x) + x (1 - x))}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - 1 + x^{2}) + \arcsin (x) ((1 + x) (1 - x) {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Étape 4.11.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x ({(1 \cdot 1 + 1 (- x) + x (1 - x))}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - 1 + x^{2}) + \arcsin (x) ((1 + x) (1 - x) {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Étape 4.11.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x ({(1 \cdot 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x))}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - 1 + x^{2}) + \arcsin (x) ((1 + x) (1 - x) {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Étape 4.11.2.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.11.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.11.2.2.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$\frac{x ({(1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x))}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - 1 + x^{2}) + \arcsin (x) ((1 + x) (1 - x) {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Étape 4.11.2.2.1.2

Multipliez $- x$ par $1$ .

$\frac{x ({(1 - x + x \cdot 1 + x (- x))}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - 1 + x^{2}) + \arcsin (x) ((1 + x) (1 - x) {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Étape 4.11.2.2.1.3

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{x ({(1 - x + x + x (- x))}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - 1 + x^{2}) + \arcsin (x) ((1 + x) (1 - x) {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Étape 4.11.2.2.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{x ({(1 - x + x - x \cdot x)}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - 1 + x^{2}) + \arcsin (x) ((1 + x) (1 - x) {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Étape 4.11.2.2.1.5

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.11.2.2.1.5.1

Déplacez $x$ .

$\frac{x ({(1 - x + x - (x \cdot x))}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - 1 + x^{2}) + \arcsin (x) ((1 + x) (1 - x) {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Étape 4.11.2.2.1.5.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{x ({(1 - x + x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - 1 + x^{2}) + \arcsin (x) ((1 + x) (1 - x) {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Étape 4.11.2.2.2

Additionnez $- x$ et $x$ .

$\frac{x ({(1 + 0 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - 1 + x^{2}) + \arcsin (x) ((1 + x) (1 - x) {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Étape 4.11.2.2.3

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{x ({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - 1 + x^{2}) + \arcsin (x) ((1 + x) (1 - x) {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Étape 4.11.2.3

Multipliez ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ par ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.11.2.3.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{x ({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - 1 + x^{2}) + \arcsin (x) ((1 + x) (1 - x) {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Étape 4.11.2.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x ({(1 - x^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}} - 1 + x^{2}) + \arcsin (x) ((1 + x) (1 - x) {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Étape 4.11.2.3.3

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{x ({(1 - x^{2})}^{\frac{2}{2}} - 1 + x^{2}) + \arcsin (x) ((1 + x) (1 - x) {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Étape 4.11.2.3.4

Divisez $2$ par $2$ .

$\frac{x ({(1 - x^{2})}^{1} - 1 + x^{2}) + \arcsin (x) ((1 + x) (1 - x) {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Étape 4.11.2.4

Simplifiez ${(1 - x^{2})}^{1}$ .

$\frac{x (1 - x^{2} - 1 + x^{2}) + \arcsin (x) ((1 + x) (1 - x) {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Étape 4.11.3

Associez les termes opposés dans $1 - x^{2} - 1 + x^{2}$ .

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Étape 4.11.3.1

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{x (- x^{2} + 0 + x^{2}) + \arcsin (x) ((1 + x) (1 - x) {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Étape 4.11.3.2

Additionnez $- x^{2}$ et $0$ .

$\frac{x (- x^{2} + x^{2}) + \arcsin (x) ((1 + x) (1 - x) {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Étape 4.11.3.3

Additionnez $- x^{2}$ et $x^{2}$ .

$\frac{x \cdot 0 + \arcsin (x) ((1 + x) (1 - x) {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Étape 4.11.4

Multipliez $x$ par $0$ .

$\frac{0 + \arcsin (x) ((1 + x) (1 - x) {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Étape 4.11.5

Développez $(1 + x) (1 - x)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.11.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{0 + \arcsin (x) ((1 (1 - x) + x (1 - x)) {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Étape 4.11.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{0 + \arcsin (x) ((1 \cdot 1 + 1 (- x) + x (1 - x)) {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Étape 4.11.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{0 + \arcsin (x) ((1 \cdot 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x)) {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Étape 4.11.6

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.11.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.11.6.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$\frac{0 + \arcsin (x) ((1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x)) {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Étape 4.11.6.1.2

Multipliez $- x$ par $1$ .

$\frac{0 + \arcsin (x) ((1 - x + x \cdot 1 + x (- x)) {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Étape 4.11.6.1.3

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{0 + \arcsin (x) ((1 - x + x + x (- x)) {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Étape 4.11.6.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{0 + \arcsin (x) ((1 - x + x - x \cdot x) {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Étape 4.11.6.1.5

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.11.6.1.5.1

Déplacez $x$ .

$\frac{0 + \arcsin (x) ((1 - x + x - (x \cdot x)) {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Étape 4.11.6.1.5.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{0 + \arcsin (x) ((1 - x + x - x^{2}) {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Étape 4.11.6.2

Additionnez $- x$ et $x$ .

$\frac{0 + \arcsin (x) ((1 + 0 - x^{2}) {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Étape 4.11.6.3

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{0 + \arcsin (x) ((1 - x^{2}) {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Étape 4.11.7

Multipliez $1 - x^{2}$ par ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.11.7.1

Multipliez $1 - x^{2}$ par ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 4.11.7.1.1

Élevez $1 - x^{2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{0 + \arcsin (x) ({(1 - x^{2})}^{1} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Étape 4.11.7.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{0 + \arcsin (x) {(1 - x^{2})}^{1 + \frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Étape 4.11.7.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{0 + \arcsin (x) {(1 - x^{2})}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Étape 4.11.7.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{0 + \arcsin (x) {(1 - x^{2})}^{\frac{2 + 1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Étape 4.11.7.4

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{0 + \arcsin (x) {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Étape 4.11.8

Additionnez $0$ et $\arcsin (x) {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{\arcsin (x) {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Étape 4.12

Placez ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ sur le numérateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{\arcsin (x) {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} {(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{(1 + x) (1 - x)}$

Étape 4.13

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.13.1

Multipliez ${(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}$ par ${(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.13.1.1

Déplacez ${(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{\arcsin (x) ({(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}})}{(1 + x) (1 - x)}$

Étape 4.13.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\arcsin (x) {(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2} + \frac{3}{2}}}{(1 + x) (1 - x)}$

Étape 4.13.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\arcsin (x) {(1 - x^{2})}^{\frac{- 1 + 3}{2}}}{(1 + x) (1 - x)}$

Étape 4.13.1.4

Additionnez $- 1$ et $3$ .

$\frac{\arcsin (x) {(1 - x^{2})}^{\frac{2}{2}}}{(1 + x) (1 - x)}$

Étape 4.13.1.5

Divisez $2$ par $2$ .

$\frac{\arcsin (x) {(1 - x^{2})}^{1}}{(1 + x) (1 - x)}$

Étape 4.13.2

Simplifiez $\arcsin (x) {(1 - x^{2})}^{1}$ .

$\frac{\arcsin (x) (1 - x^{2})}{(1 + x) (1 - x)}$

Étape 4.14

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.14.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{\arcsin (x) (1^{2} - x^{2})}{(1 + x) (1 - x)}$

Étape 4.14.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 1$ et $b = x$ .

$\frac{\arcsin (x) (1 + x) (1 - x)}{(1 + x) (1 - x)}$

Étape 4.15

Annulez le facteur commun de $1 + x$ .

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Étape 4.15.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\arcsin (x) (1 + x) (1 - x)}{(1 + x) (1 - x)}$

Étape 4.15.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\arcsin (x) (1 - x)}{1 - x}$

Étape 4.16

Annulez le facteur commun de $1 - x$ .

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Étape 4.16.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\arcsin (x) (1 - x)}{1 - x}$

Étape 4.16.2

Divisez $\arcsin (x)$ par $1$ .

$\arcsin (x)$