Calcul infinitésimal Exemples

$y = x \sqrt{1 - x^{2}} + \arccos (x)$

Étape 1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x \sqrt{1 - x^{2}} + \arccos (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x \sqrt{1 - x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\arccos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x \sqrt{1 - x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\arccos (x)]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d x} [x \sqrt{1 - x^{2}}]$ .

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Étape 2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{1 - x^{2}}$ comme ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\arccos (x)]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$x \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}] + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\arccos (x)]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = 1 - x^{2}$ .

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Étape 2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $1 - x^{2}$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\arccos (x)]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\arccos (x)]$

Étape 2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $1 - x^{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\arccos (x)]$

Étape 2.4

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$x (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\arccos (x)]$

Étape 2.5

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$x (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\arccos (x)]$

Étape 2.6

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - \frac{d}{d x} [x^{2}])) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\arccos (x)]$

Étape 2.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$x (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - (2 x))) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\arccos (x)]$

Étape 2.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - (2 x))) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\arccos (x)]$

Étape 2.9

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 - (2 x))) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\arccos (x)]$

Étape 2.10

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 - (2 x))) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\arccos (x)]$

Étape 2.11

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 - (2 x))) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\arccos (x)]$

Étape 2.12

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.12.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$x (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 - (2 x))) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\arccos (x)]$

Étape 2.12.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$x (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} (0 - (2 x))) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\arccos (x)]$

Étape 2.13

Placez le signe moins devant la fraction.

$x (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} (0 - (2 x))) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\arccos (x)]$

Étape 2.14

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$x (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} (0 - 2 x)) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\arccos (x)]$

Étape 2.15

Soustrayez $2 x$ de $0$ .

$x (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} (- 2 x)) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\arccos (x)]$

Étape 2.16

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$x (\frac{{(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} (- 2 x)) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\arccos (x)]$

Étape 2.17

Associez $- 2$ et $\frac{{(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$x (\frac{- 2 {(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} x) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\arccos (x)]$

Étape 2.18

Associez $\frac{- 2 {(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ et $x$ .

$x \frac{- 2 {(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} x}{2} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\arccos (x)]$

Étape 2.19

Placez ${(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x \frac{- 2 x}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\arccos (x)]$

Étape 2.20

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x$ .

$x \frac{2 (- x)}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\arccos (x)]$

Étape 2.21

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.21.1

Factorisez $2$ à partir de $2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$x \frac{2 (- x)}{2 ({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\arccos (x)]$

Étape 2.21.2

Annulez le facteur commun.

$x \frac{2 (- x)}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\arccos (x)]$

Étape 2.21.3

Réécrivez l’expression.

$x \frac{- x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\arccos (x)]$

Étape 2.22

Placez le signe moins devant la fraction.

$x (- \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\arccos (x)]$

Étape 2.23

Associez $x$ et $\frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{x \cdot x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\arccos (x)]$

Étape 2.24

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- \frac{x^{1} x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\arccos (x)]$

Étape 2.25

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- \frac{x^{1} x^{1}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\arccos (x)]$

Étape 2.26

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{x^{1 + 1}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\arccos (x)]$

Étape 2.27

Additionnez $1$ et $1$ .

$- \frac{x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\arccos (x)]$

Étape 2.28

Multipliez ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ par $1$ .

$- \frac{x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [\arccos (x)]$

Étape 2.29

Pour écrire ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [\arccos (x)]$

Étape 2.30

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- x^{2} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [\arccos (x)]$

Étape 2.31

Multipliez ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ par ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.31.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- x^{2} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [\arccos (x)]$

Étape 2.31.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- x^{2} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [\arccos (x)]$

Étape 2.31.3

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{- x^{2} + {(1 - x^{2})}^{\frac{2}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [\arccos (x)]$

Étape 2.31.4

Divisez $2$ par $2$ .

$\frac{- x^{2} + {(1 - x^{2})}^{1}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [\arccos (x)]$

Étape 2.32

Simplifiez ${(1 - x^{2})}^{1}$ .

$\frac{- x^{2} + 1 - x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [\arccos (x)]$

Étape 2.33

Soustrayez $x^{2}$ de $- x^{2}$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [\arccos (x)]$

Étape 3

La dérivée de $\arccos (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Associez des termes.

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Étape 4.1.1

Pour écrire $\frac{- 2 x^{2} + 1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{\sqrt{1 - x^{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 - x^{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}} - \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

Étape 4.1.2

Pour écrire $- \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 - x^{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}} - \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} \cdot \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.1.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $\sqrt{1 - x^{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.1.3.1

Multipliez $\frac{- 2 x^{2} + 1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ par $\frac{\sqrt{1 - x^{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ .

$\frac{(- 2 x^{2} + 1) \sqrt{1 - x^{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - x^{2}}} - \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} \cdot \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.1.3.2

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{1 - x^{2}}$ comme ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{(- 2 x^{2} + 1) \sqrt{1 - x^{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} \cdot \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.1.3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{(- 2 x^{2} + 1) \sqrt{1 - x^{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}} - \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} \cdot \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.1.3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(- 2 x^{2} + 1) \sqrt{1 - x^{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}}} - \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} \cdot \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.1.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{(- 2 x^{2} + 1) \sqrt{1 - x^{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{2}{2}}} - \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} \cdot \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.1.3.6

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.1.3.6.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(- 2 x^{2} + 1) \sqrt{1 - x^{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{2}{2}}} - \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} \cdot \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.1.3.6.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{(- 2 x^{2} + 1) \sqrt{1 - x^{2}}}{{(1 - x^{2})}^{1}} - \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} \cdot \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.1.3.7

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ par $\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{(- 2 x^{2} + 1) \sqrt{1 - x^{2}}}{{(1 - x^{2})}^{1}} - \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.1.3.8

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{1 - x^{2}}$ comme ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{(- 2 x^{2} + 1) \sqrt{1 - x^{2}}}{{(1 - x^{2})}^{1}} - \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.1.3.9

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{(- 2 x^{2} + 1) \sqrt{1 - x^{2}}}{{(1 - x^{2})}^{1}} - \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}$

Étape 4.1.3.10

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(- 2 x^{2} + 1) \sqrt{1 - x^{2}}}{{(1 - x^{2})}^{1}} - \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}}}$

Étape 4.1.3.11

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{(- 2 x^{2} + 1) \sqrt{1 - x^{2}}}{{(1 - x^{2})}^{1}} - \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

Étape 4.1.3.12

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.1.3.12.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(- 2 x^{2} + 1) \sqrt{1 - x^{2}}}{{(1 - x^{2})}^{1}} - \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

Étape 4.1.3.12.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{(- 2 x^{2} + 1) \sqrt{1 - x^{2}}}{{(1 - x^{2})}^{1}} - \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{1}}$

Étape 4.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(- 2 x^{2} + 1) \sqrt{1 - x^{2}} - {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{1}}$

Étape 4.1.5

Simplifiez

$\frac{(- 2 x^{2} + 1) \sqrt{1 - x^{2}} - {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{1 - x^{2}}$

Étape 4.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{\sqrt{1 - x^{2}} (- 2 x^{2} + 1) - {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 1}$

Étape 4.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{1 - x^{2}}$ comme ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (- 2 x^{2} + 1) - {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 1}$

Étape 4.3.2

Laissez $u = {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ . Remplacez toutes les occurrences de ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ par $u$ .

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Étape 4.3.2.1

Soustrayez $u$ de $u$ .

$\frac{- 2 u x^{2} + 0}{- x^{2} + 1}$

Étape 4.3.2.2

Additionnez $- 2 u x^{2}$ et $0$ .

$\frac{- 2 u x^{2}}{- x^{2} + 1}$

Étape 4.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- 2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{- x^{2} + 1}$

Étape 4.4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.4.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{- 2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{- x^{2} + 1^{2}}$

Étape 4.4.2

Remettez dans l’ordre $- x^{2}$ et $1^{2}$ .

$\frac{- 2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{1^{2} - x^{2}}$

Étape 4.4.3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 1$ et $b = x$ .

$\frac{- 2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}$

Étape 4.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}$

Étape 4.6

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- \frac{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}$ .

$- \frac{2 x^{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{(1 + x) (1 - x)}$