Calcul infinitésimal Exemples

$y = x \ln^{2} (x)$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = \ln^{2} (x)$ .

$x \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)] + \ln^{2} (x) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \ln (x)$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\ln (x)$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\ln (x)]) + \ln^{2} (x) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$x (2 u \frac{d}{d x} [\ln (x)]) + \ln^{2} (x) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\ln (x)$ .

$x (2 \ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)]) + \ln^{2} (x) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$x (2 \ln (x) \frac{1}{x}) + \ln^{2} (x) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 4.1

Associez $\frac{1}{x}$ et $2$ .

$x (\frac{2}{x} \ln (x)) + \ln^{2} (x) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.2

Simplifiez les termes.

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Étape 4.2.1

Associez $\frac{2}{x}$ et $\ln (x)$ .

$x \frac{2 \ln (x)}{x} + \ln^{2} (x) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.2.2

Associez $x$ et $\frac{2 \ln (x)}{x}$ .

$\frac{x (2 \ln (x))}{x} + \ln^{2} (x) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.2.3

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 4.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x (2 \ln (x))}{x} + \ln^{2} (x) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.2.3.2

Divisez $2 \ln (x)$ par $1$ .

$2 \ln (x) + \ln^{2} (x) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \ln (x) + \ln^{2} (x) \cdot 1$

Étape 4.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.4.1

Multipliez $\ln^{2} (x)$ par $1$ .

$2 \ln (x) + \ln^{2} (x)$

Étape 4.4.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\ln^{2} (x) + 2 \ln (x)$