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Calcul infinitésimal Exemples
Étape 1
Étape 1.1
Décomposez la fraction et multipliez par le dénominateur commun.
Étape 1.1.1
Factorisez à partir de .
Étape 1.1.1.1
Factorisez à partir de .
Étape 1.1.1.2
Factorisez à partir de .
Étape 1.1.1.3
Factorisez à partir de .
Étape 1.1.2
Pour chaque facteur dans le dénominateur, créez une nouvelle fraction en utilisant le facteur comme dénominateur et une valeur inconnue comme numérateur. Comme le facteur dans le dénominateur est linéaire, placez une variable unique à sa place .
Étape 1.1.3
Multipliez chaque fraction dans l’équation par le dénominateur de l’expression d’origine. Dans ce cas, le dénominateur est .
Étape 1.1.4
Annulez le facteur commun de .
Étape 1.1.4.1
Annulez le facteur commun.
Étape 1.1.4.2
Réécrivez l’expression.
Étape 1.1.5
Annulez le facteur commun de .
Étape 1.1.5.1
Annulez le facteur commun.
Étape 1.1.5.2
Divisez par .
Étape 1.1.6
Simplifiez chaque terme.
Étape 1.1.6.1
Annulez le facteur commun de .
Étape 1.1.6.1.1
Annulez le facteur commun.
Étape 1.1.6.1.2
Divisez par .
Étape 1.1.6.2
Appliquez la propriété distributive.
Étape 1.1.6.3
Déplacez à gauche de .
Étape 1.1.6.4
Annulez le facteur commun à et .
Étape 1.1.6.4.1
Factorisez à partir de .
Étape 1.1.6.4.2
Annulez les facteurs communs.
Étape 1.1.6.4.2.1
Multipliez par .
Étape 1.1.6.4.2.2
Annulez le facteur commun.
Étape 1.1.6.4.2.3
Réécrivez l’expression.
Étape 1.1.6.4.2.4
Divisez par .
Étape 1.1.6.5
Appliquez la propriété distributive.
Étape 1.1.6.6
Multipliez par .
Étape 1.1.6.7
Déplacez à gauche de .
Étape 1.1.6.8
Appliquez la propriété distributive.
Étape 1.1.6.9
Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.
Étape 1.1.6.10
Annulez le facteur commun à et .
Étape 1.1.6.10.1
Factorisez à partir de .
Étape 1.1.6.10.2
Annulez les facteurs communs.
Étape 1.1.6.10.2.1
Élevez à la puissance .
Étape 1.1.6.10.2.2
Factorisez à partir de .
Étape 1.1.6.10.2.3
Annulez le facteur commun.
Étape 1.1.6.10.2.4
Réécrivez l’expression.
Étape 1.1.6.10.2.5
Divisez par .
Étape 1.1.6.11
Appliquez la propriété distributive.
Étape 1.1.6.12
Multipliez par en additionnant les exposants.
Étape 1.1.6.12.1
Multipliez par .
Étape 1.1.6.12.1.1
Élevez à la puissance .
Étape 1.1.6.12.1.2
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 1.1.6.12.2
Additionnez et .
Étape 1.1.6.13
Déplacez à gauche de .
Étape 1.1.6.14
Appliquez la propriété distributive.
Étape 1.1.6.15
Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.
Étape 1.1.6.16
Annulez le facteur commun de .
Étape 1.1.6.16.1
Annulez le facteur commun.
Étape 1.1.6.16.2
Divisez par .
Étape 1.1.7
Simplifiez l’expression.
Étape 1.1.7.1
Déplacez .
Étape 1.1.7.2
Déplacez .
Étape 1.1.7.3
Déplacez .
Étape 1.1.7.4
Déplacez .
Étape 1.1.7.5
Déplacez .
Étape 1.1.7.6
Déplacez .
Étape 1.2
Créez des équations pour les variables de fractions partielles et utilisez-les pour définir un système d’équations.
Étape 1.2.1
Créez une équation pour les variables de fractions partielles en faisant correspondre les coefficients de de chaque côté de l’équation. Pour que l’équation soit égale, les coefficients équivalents de chaque côté de l’équation doivent être égaux.
Étape 1.2.2
Créez une équation pour les variables de fractions partielles en faisant correspondre les coefficients de de chaque côté de l’équation. Pour que l’équation soit égale, les coefficients équivalents de chaque côté de l’équation doivent être égaux.
Étape 1.2.3
Créez une équation pour les variables de fractions partielles en faisant correspondre les coefficients de de chaque côté de l’équation. Pour que l’équation soit égale, les coefficients équivalents de chaque côté de l’équation doivent être égaux.
Étape 1.2.4
Créez une équation pour les variables de fractions partielles en faisant correspondre les coefficients des termes qui ne contiennent pas . Pour que l’équation soit égale, les coefficients équivalents de chaque côté de l’équation doivent être égaux.
Étape 1.2.5
Définissez le système d’équations pour déterminer les coefficients des fractions partielles.
Étape 1.3
Résolvez le système d’équations.
Étape 1.3.1
Résolvez dans .
Étape 1.3.1.1
Réécrivez l’équation comme .
Étape 1.3.1.2
Divisez chaque terme dans par et simplifiez.
Étape 1.3.1.2.1
Divisez chaque terme dans par .
Étape 1.3.1.2.2
Simplifiez le côté gauche.
Étape 1.3.1.2.2.1
Annulez le facteur commun de .
Étape 1.3.1.2.2.1.1
Annulez le facteur commun.
Étape 1.3.1.2.2.1.2
Divisez par .
Étape 1.3.1.2.3
Simplifiez le côté droit.
Étape 1.3.1.2.3.1
Divisez par .
Étape 1.3.2
Remplacez toutes les occurrences de par dans chaque équation.
Étape 1.3.2.1
Remplacez toutes les occurrences de dans par .
Étape 1.3.2.2
Simplifiez le côté droit.
Étape 1.3.2.2.1
Supprimez les parenthèses.
Étape 1.3.3
Résolvez dans .
Étape 1.3.3.1
Réécrivez l’équation comme .
Étape 1.3.3.2
Déplacez tous les termes ne contenant pas du côté droit de l’équation.
Étape 1.3.3.2.1
Soustrayez des deux côtés de l’équation.
Étape 1.3.3.2.2
Soustrayez de .
Étape 1.3.3.3
Divisez chaque terme dans par et simplifiez.
Étape 1.3.3.3.1
Divisez chaque terme dans par .
Étape 1.3.3.3.2
Simplifiez le côté gauche.
Étape 1.3.3.3.2.1
Annulez le facteur commun de .
Étape 1.3.3.3.2.1.1
Annulez le facteur commun.
Étape 1.3.3.3.2.1.2
Divisez par .
Étape 1.3.3.3.3
Simplifiez le côté droit.
Étape 1.3.3.3.3.1
Divisez par .
Étape 1.3.4
Remplacez toutes les occurrences de par dans chaque équation.
Étape 1.3.4.1
Remplacez toutes les occurrences de dans par .
Étape 1.3.4.2
Simplifiez le côté droit.
Étape 1.3.4.2.1
Supprimez les parenthèses.
Étape 1.3.5
Résolvez dans .
Étape 1.3.5.1
Réécrivez l’équation comme .
Étape 1.3.5.2
Déplacez tous les termes ne contenant pas du côté droit de l’équation.
Étape 1.3.5.2.1
Soustrayez des deux côtés de l’équation.
Étape 1.3.5.2.2
Soustrayez de .
Étape 1.3.5.3
Divisez chaque terme dans par et simplifiez.
Étape 1.3.5.3.1
Divisez chaque terme dans par .
Étape 1.3.5.3.2
Simplifiez le côté gauche.
Étape 1.3.5.3.2.1
Annulez le facteur commun de .
Étape 1.3.5.3.2.1.1
Annulez le facteur commun.
Étape 1.3.5.3.2.1.2
Divisez par .
Étape 1.3.5.3.3
Simplifiez le côté droit.
Étape 1.3.5.3.3.1
Divisez par .
Étape 1.3.6
Remplacez toutes les occurrences de par dans chaque équation.
Étape 1.3.6.1
Remplacez toutes les occurrences de dans par .
Étape 1.3.6.2
Simplifiez le côté droit.
Étape 1.3.6.2.1
Supprimez les parenthèses.
Étape 1.3.7
Résolvez dans .
Étape 1.3.7.1
Réécrivez l’équation comme .
Étape 1.3.7.2
Déplacez tous les termes ne contenant pas du côté droit de l’équation.
Étape 1.3.7.2.1
Ajoutez aux deux côtés de l’équation.
Étape 1.3.7.2.2
Additionnez et .
Étape 1.3.8
Résolvez le système d’équations.
Étape 1.3.9
Indiquez toutes les solutions.
Étape 1.4
Remplacez chacun des coefficients de fractions partielles dans par les valeurs trouvées pour , , et .
Étape 1.5
Placez le signe moins devant la fraction.
Étape 2
Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.
Étape 3
Comme est constant par rapport à , placez en dehors de l’intégrale.
Étape 4
Étape 4.1
Retirez du dénominateur en l’élevant à la puissance .
Étape 4.2
Multipliez les exposants dans .
Étape 4.2.1
Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, .
Étape 4.2.2
Multipliez par .
Étape 5
Selon la règle de puissance, l’intégrale de par rapport à est .
Étape 6
Étape 6.1
Associez et .
Étape 6.2
Placez sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif .
Étape 7
Comme est constant par rapport à , placez en dehors de l’intégrale.
Étape 8
Étape 8.1
Retirez du dénominateur en l’élevant à la puissance .
Étape 8.2
Multipliez les exposants dans .
Étape 8.2.1
Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, .
Étape 8.2.2
Multipliez par .
Étape 9
Selon la règle de puissance, l’intégrale de par rapport à est .
Étape 10
Comme est constant par rapport à , placez en dehors de l’intégrale.
Étape 11
Comme est constant par rapport à , placez en dehors de l’intégrale.
Étape 12
Multipliez par .
Étape 13
L’intégrale de par rapport à est .
Étape 14
Comme est constant par rapport à , placez en dehors de l’intégrale.
Étape 15
Étape 15.1
Laissez . Déterminez .
Étape 15.1.1
Différenciez .
Étape 15.1.2
Selon la règle de la somme, la dérivée de par rapport à est .
Étape 15.1.3
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 15.1.4
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 15.1.5
Additionnez et .
Étape 15.2
Réécrivez le problème en utilisant et .
Étape 16
L’intégrale de par rapport à est .
Étape 17
Simplifiez
Étape 18
Remplacez toutes les occurrences de par .