Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{x^{2}}{x^{2} + 5}$

Étape 1

Divisez $x^{2}$ par $x^{2} + 5$ .

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Étape 1.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x^{2}$

$0 x$

$5$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

Étape 1.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x^{2}$ .

							$1$
	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$

Étape 1.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

						$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					+	$x^{2}$	+	$0$	+	$5$

Étape 1.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x^{2} + 0 + 5$

						$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					-	$x^{2}$	-	$0$	-	$5$

Étape 1.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

						$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					-	$x^{2}$	-	$0$	-	$5$
									-	$5$

Étape 1.6

La réponse finale est le quotient plus le reste sur le diviseur.

$\int 1 - \frac{5}{x^{2} + 5} d x$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int d x + \int - \frac{5}{x^{2} + 5} d x$

Étape 3

Appliquez la règle de la constante.

$x + C + \int - \frac{5}{x^{2} + 5} d x$

Étape 4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$x + C - \int \frac{5}{x^{2} + 5} d x$

Étape 5

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , placez $5$ en dehors de l’intégrale.

$x + C - (5 \int \frac{1}{x^{2} + 5} d x)$

Étape 6

Simplifiez l’expression.

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Étape 6.1

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$x + C - 5 \int \frac{1}{x^{2} + 5} d x$

Étape 6.2

Remettez dans l’ordre $x^{2}$ et $5$ .

$x + C - 5 \int \frac{1}{5 + x^{2}} d x$

Étape 7

Réécrivez $5$ comme ${\sqrt{5}}^{2}$ .

$x + C - 5 \int \frac{1}{{\sqrt{5}}^{2} + x^{2}} d x$

Étape 8

L’intégrale de $\frac{1}{{\sqrt{5}}^{2} + x^{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{\sqrt{5}} \arctan (\frac{x}{\sqrt{5}}) + C$ .

$x + C - 5 (\frac{1}{\sqrt{5}} \arctan (\frac{x}{\sqrt{5}}) + C)$

Étape 9

Simplifiez

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Étape 9.1

Associez $\frac{1}{\sqrt{5}}$ et $\arctan (\frac{x}{\sqrt{5}})$ .

$x + C - 5 (\frac{\arctan (\frac{x}{\sqrt{5}})}{\sqrt{5}} + C)$

Étape 9.2

Simplifiez

$x - 5 \frac{\arctan (\frac{x \sqrt{5}}{5})}{\sqrt{5}} + C$

Étape 9.3

Simplifiez

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Étape 9.3.1

Associez $- 5$ et $\frac{\arctan (\frac{x \sqrt{5}}{5})}{\sqrt{5}}$ .

$x + \frac{- 5 \arctan (\frac{x \sqrt{5}}{5})}{\sqrt{5}} + C$

Étape 9.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$x - \frac{5 \arctan (\frac{x \sqrt{5}}{5})}{\sqrt{5}} + C$

Étape 10

Remettez les termes dans l’ordre.

$x - \frac{5}{\sqrt{5}} \arctan (\frac{\sqrt{5}}{5} x) + C$