Calcul infinitésimal Exemples

$y = x^{3} - 3 x^{2} - 105 x$

Étape 1

Déterminez les abscisses à l’origine.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Pour déterminer la ou les abscisses à l’origine, remplacez $y$ par $0$ et résolvez $x$ .

$0 = x^{3} - 3 x^{2} - 105 x$

Étape 1.2

Résolvez l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Réécrivez l’équation comme $x^{3} - 3 x^{2} - 105 x = 0$ .

$x^{3} - 3 x^{2} - 105 x = 0$

Étape 1.2.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{3} - 3 x^{2} - 105 x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{3}$ .

$x \cdot x^{2} - 3 x^{2} - 105 x = 0$

Étape 1.2.2.2

Factorisez $x$ à partir de $- 3 x^{2}$ .

$x \cdot x^{2} + x (- 3 x) - 105 x = 0$

Étape 1.2.2.3

Factorisez $x$ à partir de $- 105 x$ .

$x \cdot x^{2} + x (- 3 x) + x \cdot - 105 = 0$

Étape 1.2.2.4

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x^{2} + x (- 3 x)$ .

$x (x^{2} - 3 x) + x \cdot - 105 = 0$

Étape 1.2.2.5

Factorisez $x$ à partir de $x (x^{2} - 3 x) + x \cdot - 105$ .

$x (x^{2} - 3 x - 105) = 0$

Étape 1.2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$x^{2} - 3 x - 105 = 0$

Étape 1.2.4

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 1.2.5

Définissez $x^{2} - 3 x - 105$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.5.1

Définissez $x^{2} - 3 x - 105$ égal à $0$ .

$x^{2} - 3 x - 105 = 0$

Étape 1.2.5.2

Résolvez $x^{2} - 3 x - 105 = 0$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.5.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 1.2.5.2.2

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = - 3$ et $c = - 105$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 105)}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.5.2.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.5.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.5.2.3.1.1

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot - 105}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.5.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot - 105$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.5.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot - 105}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.5.2.3.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $- 105$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 420}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.5.2.3.1.3

Additionnez $9$ et $420$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{429}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.5.2.3.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{429}}{2}$

Étape 1.2.5.2.4

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.5.2.4.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.5.2.4.1.1

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot - 105}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.5.2.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot - 105$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.5.2.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot - 105}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.5.2.4.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $- 105$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 420}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.5.2.4.1.3

Additionnez $9$ et $420$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{429}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.5.2.4.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{429}}{2}$

Étape 1.2.5.2.4.3

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = \frac{3 + \sqrt{429}}{2}$

Étape 1.2.5.2.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.5.2.5.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.5.2.5.1.1

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot - 105}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.5.2.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot - 105$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.5.2.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot - 105}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.5.2.5.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $- 105$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 420}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.5.2.5.1.3

Additionnez $9$ et $420$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{429}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.5.2.5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{429}}{2}$

Étape 1.2.5.2.5.3

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = \frac{3 - \sqrt{429}}{2}$

Étape 1.2.5.2.6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = \frac{3 + \sqrt{429}}{2}, \frac{3 - \sqrt{429}}{2}$

Étape 1.2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $x (x^{2} - 3 x - 105) = 0$ vraie.

$x = 0, \frac{3 + \sqrt{429}}{2}, \frac{3 - \sqrt{429}}{2}$

Étape 1.3

abscisse(s) à l’origine en forme de point.

abscisse(s) à l’origine : $(0, 0), (\frac{3 + \sqrt{429}}{2}, 0), (\frac{3 - \sqrt{429}}{2}, 0)$

Étape 2

Déterminez les ordonnées à l’origine.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Pour trouver la ou les ordonnées à l’origine, remplacez $x$ par $0$ et résolvez $y$ .

$y = {(0)}^{3} - 3 {(0)}^{2} - 105 \cdot 0$

Étape 2.2

Résolvez l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Supprimez les parenthèses.

$y = 0^{3} - 3 {(0)}^{2} - 105 \cdot 0$

Étape 2.2.2

Supprimez les parenthèses.

$y = 0^{3} - 3 \cdot 0^{2} - 105 \cdot 0$

Étape 2.2.3

Supprimez les parenthèses.

$y = {(0)}^{3} - 3 {(0)}^{2} - 105 \cdot 0$

Étape 2.2.4

Simplifiez ${(0)}^{3} - 3 {(0)}^{2} - 105 \cdot 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.4.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.4.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$y = 0 - 3 {(0)}^{2} - 105 \cdot 0$

Étape 2.2.4.1.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$y = 0 - 3 \cdot 0 - 105 \cdot 0$

Étape 2.2.4.1.3

Multipliez $- 3$ par $0$ .

$y = 0 + 0 - 105 \cdot 0$

Étape 2.2.4.1.4

Multipliez $- 105$ par $0$ .

$y = 0 + 0 + 0$

Étape 2.2.4.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.4.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$y = 0 + 0$

Étape 2.2.4.2.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$y = 0$

Étape 2.3

ordonnée(s) à l’origine en forme de point.

ordonnée(s) à l’origine : $(0, 0)$

Étape 3

Indiquez les intersections.

abscisse(s) à l’origine : $(0, 0), (\frac{3 + \sqrt{429}}{2}, 0), (\frac{3 - \sqrt{429}}{2}, 0)$

ordonnée(s) à l’origine : $(0, 0)$

Étape 4