Calcul infinitésimal Exemples

$y = x^{9} - 9 x$

Étape 1

Déterminez les abscisses à l’origine.

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Étape 1.1

Pour déterminer la ou les abscisses à l’origine, remplacez $y$ par $0$ et résolvez $x$ .

$0 = x^{9} - 9 x$

Étape 1.2

Résolvez l’équation.

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Étape 1.2.1

Réécrivez l’équation comme $x^{9} - 9 x = 0$ .

$x^{9} - 9 x = 0$

Étape 1.2.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.2.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{9} - 9 x$ .

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Étape 1.2.2.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{9}$ .

$x \cdot x^{8} - 9 x = 0$

Étape 1.2.2.1.2

Factorisez $x$ à partir de $- 9 x$ .

$x \cdot x^{8} + x \cdot - 9 = 0$

Étape 1.2.2.1.3

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x^{8} + x \cdot - 9$ .

$x (x^{8} - 9) = 0$

Étape 1.2.2.2

Réécrivez $x^{8}$ comme ${(x^{4})}^{2}$ .

$x ({(x^{4})}^{2} - 9) = 0$

Étape 1.2.2.3

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$x ({(x^{4})}^{2} - 3^{2}) = 0$

Étape 1.2.2.4

Factorisez.

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Étape 1.2.2.4.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x^{4}$ et $b = 3$ .

$x ((x^{4} + 3) (x^{4} - 3)) = 0$

Étape 1.2.2.4.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$x (x^{4} + 3) (x^{4} - 3) = 0$

Étape 1.2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$x^{4} + 3 = 0$

$x^{4} - 3 = 0$

Étape 1.2.4

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 1.2.5

Définissez $x^{4} + 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.5.1

Définissez $x^{4} + 3$ égal à $0$ .

$x^{4} + 3 = 0$

Étape 1.2.5.2

Résolvez $x^{4} + 3 = 0$ pour $x$ .

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Étape 1.2.5.2.1

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$x^{4} = - 3$

Étape 1.2.5.2.2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt[4]{- 3}$

Étape 1.2.5.2.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 1.2.5.2.3.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \sqrt[4]{- 3}$

Étape 1.2.5.2.3.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \sqrt[4]{- 3}$

Étape 1.2.5.2.3.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \sqrt[4]{- 3}, - \sqrt[4]{- 3}$

Étape 1.2.6

Définissez $x^{4} - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.6.1

Définissez $x^{4} - 3$ égal à $0$ .

$x^{4} - 3 = 0$

Étape 1.2.6.2

Résolvez $x^{4} - 3 = 0$ pour $x$ .

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Étape 1.2.6.2.1

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{4} = 3$

Étape 1.2.6.2.2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt[4]{3}$

Étape 1.2.6.2.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 1.2.6.2.3.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \sqrt[4]{3}$

Étape 1.2.6.2.3.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \sqrt[4]{3}$

Étape 1.2.6.2.3.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \sqrt[4]{3}, - \sqrt[4]{3}$

Étape 1.2.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $x (x^{4} + 3) (x^{4} - 3) = 0$ vraie.

$x = 0, \sqrt[4]{- 3}, - \sqrt[4]{- 3}, \sqrt[4]{3}, - \sqrt[4]{3}$

Étape 1.3

abscisse(s) à l’origine en forme de point.

abscisse(s) à l’origine : $(0, 0), (\sqrt[4]{- 3}, 0), (- \sqrt[4]{- 3}, 0), (\sqrt[4]{3}, 0), (- \sqrt[4]{3}, 0)$

Étape 2

Déterminez les ordonnées à l’origine.

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Étape 2.1

Pour trouver la ou les ordonnées à l’origine, remplacez $x$ par $0$ et résolvez $y$ .

$y = {(0)}^{9} - 9 \cdot 0$

Étape 2.2

Résolvez l’équation.

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Étape 2.2.1

Supprimez les parenthèses.

$y = 0^{9} - 9 \cdot 0$

Étape 2.2.2

Supprimez les parenthèses.

$y = {(0)}^{9} - 9 \cdot 0$

Étape 2.2.3

Simplifiez ${(0)}^{9} - 9 \cdot 0$ .

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Étape 2.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.3.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$y = 0 - 9 \cdot 0$

Étape 2.2.3.1.2

Multipliez $- 9$ par $0$ .

$y = 0 + 0$

Étape 2.2.3.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$y = 0$

Étape 2.3

ordonnée(s) à l’origine en forme de point.

ordonnée(s) à l’origine : $(0, 0)$

Étape 3

Indiquez les intersections.

abscisse(s) à l’origine : $(0, 0), (\sqrt[4]{- 3}, 0), (- \sqrt[4]{- 3}, 0), (\sqrt[4]{3}, 0), (- \sqrt[4]{3}, 0)$

ordonnée(s) à l’origine : $(0, 0)$

Étape 4