Calcul infinitésimal Exemples

$x^{2} y + e^{2 x + y} = 2 x \sqrt{y}$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{y}$ comme $y^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{2} y + e^{2 x + y} = 2 x y^{\frac{1}{2}}$

Étape 2

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d y} (x^{2} y + e^{2 x + y}) = \frac{d}{d y} (2 x y^{\frac{1}{2}})$

Étape 3

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} y + e^{2 x + y}$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [x^{2} y] + \frac{d}{d y} [e^{2 x + y}]$ .

$\frac{d}{d y} [x^{2} y] + \frac{d}{d y} [e^{2 x + y}]$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d y} [x^{2} y]$ .

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Étape 3.2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ est $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ où $f (y) = x^{2}$ et $g (y) = y$ .

$x^{2} \frac{d}{d y} [y] + y \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [e^{2 x + y}]$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x^{2} \cdot 1 + y \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [e^{2 x + y}]$

Étape 3.2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ est $f' (g (y)) g' (y)$ où $f (y) = y^{2}$ et $g (y) = x$ .

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Étape 3.2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $x$ .

$x^{2} \cdot 1 + y (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [e^{2 x + y}]$

Étape 3.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$x^{2} \cdot 1 + y (2 u_{1} \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [e^{2 x + y}]$

Étape 3.2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $x$ .

$x^{2} \cdot 1 + y (2 x \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [e^{2 x + y}]$

Étape 3.2.4

Réécrivez $\frac{d}{d y} [x]$ comme $x'$ .

$x^{2} \cdot 1 + y (2 x x') + \frac{d}{d y} [e^{2 x + y}]$

Étape 3.2.5

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} + y (2 x x') + \frac{d}{d y} [e^{2 x + y}]$

Étape 3.2.6

Déplacez $2$ à gauche de $y$ .

$x^{2} + 2 y x x' + \frac{d}{d y} [e^{2 x + y}]$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [e^{2 x + y}]$ .

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Étape 3.3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ est $f' (g (y)) g' (y)$ où $f (y) = e^{y}$ et $g (y) = 2 x + y$ .

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Étape 3.3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $2 x + y$ .

$x^{2} + 2 y x x' + \frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d y} [2 x + y]$

Étape 3.3.1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ est $a^{u_{2}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$x^{2} + 2 y x x' + e^{u_{2}} \frac{d}{d y} [2 x + y]$

Étape 3.3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $2 x + y$ .

$x^{2} + 2 y x x' + e^{2 x + y} \frac{d}{d y} [2 x + y]$

Étape 3.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x + y$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$x^{2} + 2 y x x' + e^{2 x + y} (\frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [y])$

Étape 3.3.3

Comme $2$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $y$ est $2 \frac{d}{d y} [x]$ .

$x^{2} + 2 y x x' + e^{2 x + y} (2 \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y])$

Étape 3.3.4

Réécrivez $\frac{d}{d y} [x]$ comme $x'$ .

$x^{2} + 2 y x x' + e^{2 x + y} (2 x' + \frac{d}{d y} [y])$

Étape 3.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x^{2} + 2 y x x' + e^{2 x + y} (2 x' + 1)$

Étape 3.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$x^{2} + 2 x y x' + e^{2 x + y} (2 x' + 1)$

Étape 4

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 4.1

Comme $2$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $2 x y^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $y$ est $2 \frac{d}{d y} [x y^{\frac{1}{2}}]$ .

$2 \frac{d}{d y} [x y^{\frac{1}{2}}]$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ est $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ où $f (y) = x$ et $g (y) = y^{\frac{1}{2}}$ .

$2 (x \frac{d}{d y} [y^{\frac{1}{2}}] + y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [x])$

Étape 4.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$2 (x (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1}) + y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [x])$

Étape 4.4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$2 (x (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [x])$

Étape 4.5

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$2 (x (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [x])$

Étape 4.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 (x (\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [x])$

Étape 4.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.7.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$2 (x (\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 2}{2}}) + y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [x])$

Étape 4.7.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$2 (x (\frac{1}{2} y^{\frac{- 1}{2}}) + y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [x])$

Étape 4.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$2 (x (\frac{1}{2} y^{- \frac{1}{2}}) + y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [x])$

Étape 4.9

Associez $\frac{1}{2}$ et $y^{- \frac{1}{2}}$ .

$2 (x \frac{y^{- \frac{1}{2}}}{2} + y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [x])$

Étape 4.10

Associez $x$ et $\frac{y^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$2 (\frac{x y^{- \frac{1}{2}}}{2} + y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [x])$

Étape 4.11

Placez $y^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 (\frac{x}{2 y^{\frac{1}{2}}} + y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [x])$

Étape 4.12

Réécrivez $\frac{d}{d y} [x]$ comme $x'$ .

$2 (\frac{x}{2 y^{\frac{1}{2}}} + y^{\frac{1}{2}} x')$

Étape 4.13

Simplifiez

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Étape 4.13.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 \frac{x}{2 y^{\frac{1}{2}}} + 2 (y^{\frac{1}{2}} x')$

Étape 4.13.2

Associez des termes.

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Étape 4.13.2.1

Associez $2$ et $\frac{x}{2 y^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 x}{2 y^{\frac{1}{2}}} + 2 (y^{\frac{1}{2}} x')$

Étape 4.13.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2 y^{\frac{1}{2}}} + 2 (y^{\frac{1}{2}} x')$

Étape 4.13.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{x}{y^{\frac{1}{2}}} + 2 y^{\frac{1}{2}} x'$

Étape 4.13.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$2 y^{\frac{1}{2}} x' + \frac{x}{y^{\frac{1}{2}}}$

Étape 5

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$x^{2} + 2 x y x' + e^{2 x + y} (2 x' + 1) = 2 y^{\frac{1}{2}} x' + \frac{x}{y^{\frac{1}{2}}}$

Étape 6

Résolvez $x'$ .

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Étape 6.1

Simplifiez $x^{2} + 2 x y x' + e^{2 x + y} (2 x' + 1)$ .

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Étape 6.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} + 2 x y x' + e^{2 x + y} (2 x') + e^{2 x + y} \cdot 1 = 2 y^{\frac{1}{2}} x' + \frac{x}{y^{\frac{1}{2}}}$

Étape 6.1.1.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$x^{2} + 2 x y x' + 2 e^{2 x + y} x' + e^{2 x + y} \cdot 1 = 2 y^{\frac{1}{2}} x' + \frac{x}{y^{\frac{1}{2}}}$

Étape 6.1.1.3

Multipliez $e^{2 x + y}$ par $1$ .

$x^{2} + 2 x y x' + 2 e^{2 x + y} x' + e^{2 x + y} = 2 y^{\frac{1}{2}} x' + \frac{x}{y^{\frac{1}{2}}}$

Étape 6.1.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $x^{2} + 2 x y x' + 2 e^{2 x + y} x' + e^{2 x + y}$ .

$x^{2} + 2 x y x' + 2 x' e^{2 x + y} + e^{2 x + y} = 2 y^{\frac{1}{2}} x' + \frac{x}{y^{\frac{1}{2}}}$

Étape 6.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $2 y^{\frac{1}{2}} x' + \frac{x}{y^{\frac{1}{2}}}$ .

$x^{2} + 2 x y x' + 2 x' e^{2 x + y} + e^{2 x + y} = 2 x' y^{\frac{1}{2}} + \frac{x}{y^{\frac{1}{2}}}$

Étape 6.3

Soustrayez $2 x' y^{\frac{1}{2}}$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} + 2 x y x' + 2 x' e^{2 x + y} + e^{2 x + y} - 2 x' y^{\frac{1}{2}} = \frac{x}{y^{\frac{1}{2}}}$

Étape 6.4

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x'$ du côté droit de l’équation.

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Étape 6.4.1

Soustrayez $x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$2 x y x' + 2 x' e^{2 x + y} + e^{2 x + y} - 2 x' y^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{y^{\frac{1}{2}}} = - x^{2}$

Étape 6.4.2

Soustrayez $e^{2 x + y}$ des deux côtés de l’équation.

$2 x y x' + 2 x' e^{2 x + y} - 2 x' y^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{y^{\frac{1}{2}}} = - x^{2} - e^{2 x + y}$

Étape 6.4.3

Ajoutez $\frac{x}{y^{\frac{1}{2}}}$ aux deux côtés de l’équation.

$2 x y x' + 2 x' e^{2 x + y} - 2 x' y^{\frac{1}{2}} = - x^{2} - e^{2 x + y} + \frac{x}{y^{\frac{1}{2}}}$

Étape 6.5

Factorisez $2 x'$ à partir de $2 x y x' + 2 x' e^{2 x + y} - 2 x' y^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 6.5.1

Factorisez $2 x'$ à partir de $2 x y x'$ .

$2 x' (x y) + 2 x' e^{2 x + y} - 2 x' y^{\frac{1}{2}} = - x^{2} - e^{2 x + y} + \frac{x}{y^{\frac{1}{2}}}$

Étape 6.5.2

Factorisez $2 x'$ à partir de $2 x' e^{2 x + y}$ .

$2 x' (x y) + 2 x' e^{2 x + y} - 2 x' y^{\frac{1}{2}} = - x^{2} - e^{2 x + y} + \frac{x}{y^{\frac{1}{2}}}$

Étape 6.5.3

Factorisez $2 x'$ à partir de $- 2 x' y^{\frac{1}{2}}$ .

$2 x' (x y) + 2 x' e^{2 x + y} + 2 x' (- 1 y^{\frac{1}{2}}) = - x^{2} - e^{2 x + y} + \frac{x}{y^{\frac{1}{2}}}$

Étape 6.5.4

Factorisez $2 x'$ à partir de $2 x' (x y) + 2 x' e^{2 x + y}$ .

$2 x' (x y + e^{2 x + y}) + 2 x' (- 1 y^{\frac{1}{2}}) = - x^{2} - e^{2 x + y} + \frac{x}{y^{\frac{1}{2}}}$

Étape 6.5.5

Factorisez $2 x'$ à partir de $2 x' (x y + e^{2 x + y}) + 2 x' (- 1 y^{\frac{1}{2}})$ .

$2 x' (x y + e^{2 x + y} - 1 y^{\frac{1}{2}}) = - x^{2} - e^{2 x + y} + \frac{x}{y^{\frac{1}{2}}}$

Étape 6.6

Réécrivez $- 1 y^{\frac{1}{2}}$ comme $- y^{\frac{1}{2}}$ .

$2 x' (x y + e^{2 x + y} - y^{\frac{1}{2}}) = - x^{2} - e^{2 x + y} + \frac{x}{y^{\frac{1}{2}}}$

Étape 6.7

Divisez chaque terme dans $2 x' (x y + e^{2 x + y} - y^{\frac{1}{2}}) = - x^{2} - e^{2 x + y} + \frac{x}{y^{\frac{1}{2}}}$ par $2 x y + 2 e^{2 x + y} - 2 y^{\frac{1}{2}}$ et simplifiez.

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Étape 6.7.1

Divisez chaque terme dans $2 x' (x y + e^{2 x + y} - y^{\frac{1}{2}}) = - x^{2} - e^{2 x + y} + \frac{x}{y^{\frac{1}{2}}}$ par $2 x y + 2 e^{2 x + y} - 2 y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 x' (x y + e^{2 x + y} - y^{\frac{1}{2}})}{2 x y + 2 e^{2 x + y} - 2 y^{\frac{1}{2}}} = \frac{- x^{2}}{2 x y + 2 e^{2 x + y} - 2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{- e^{2 x + y}}{2 x y + 2 e^{2 x + y} - 2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{\frac{x}{y^{\frac{1}{2}}}}{2 x y + 2 e^{2 x + y} - 2 y^{\frac{1}{2}}}$

Étape 6.7.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.7.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x' (x y + e^{2 x + y} - y^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{2 (x' (x y + e^{2 x + y} - y^{\frac{1}{2}}))}{2 x y + 2 e^{2 x + y} - 2 y^{\frac{1}{2}}} = \frac{- x^{2}}{2 x y + 2 e^{2 x + y} - 2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{- e^{2 x + y}}{2 x y + 2 e^{2 x + y} - 2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{\frac{x}{y^{\frac{1}{2}}}}{2 x y + 2 e^{2 x + y} - 2 y^{\frac{1}{2}}}$

Étape 6.7.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.7.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x y$ .

$\frac{2 (x' (x y + e^{2 x + y} - y^{\frac{1}{2}}))}{2 (x y) + 2 e^{2 x + y} - 2 y^{\frac{1}{2}}} = \frac{- x^{2}}{2 x y + 2 e^{2 x + y} - 2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{- e^{2 x + y}}{2 x y + 2 e^{2 x + y} - 2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{\frac{x}{y^{\frac{1}{2}}}}{2 x y + 2 e^{2 x + y} - 2 y^{\frac{1}{2}}}$

Étape 6.7.2.2.2

Factorisez $2$ à partir de $2 e^{2 x + y}$ .

$\frac{2 (x' (x y + e^{2 x + y} - y^{\frac{1}{2}}))}{2 (x y) + 2 (e^{2 x + y}) - 2 y^{\frac{1}{2}}} = \frac{- x^{2}}{2 x y + 2 e^{2 x + y} - 2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{- e^{2 x + y}}{2 x y + 2 e^{2 x + y} - 2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{\frac{x}{y^{\frac{1}{2}}}}{2 x y + 2 e^{2 x + y} - 2 y^{\frac{1}{2}}}$

Étape 6.7.2.2.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (x y) + 2 (e^{2 x + y})$ .

$\frac{2 (x' (x y + e^{2 x + y} - y^{\frac{1}{2}}))}{2 (x y + e^{2 x + y}) - 2 y^{\frac{1}{2}}} = \frac{- x^{2}}{2 x y + 2 e^{2 x + y} - 2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{- e^{2 x + y}}{2 x y + 2 e^{2 x + y} - 2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{\frac{x}{y^{\frac{1}{2}}}}{2 x y + 2 e^{2 x + y} - 2 y^{\frac{1}{2}}}$

Étape 6.7.2.2.4

Factorisez $2$ à partir de $- 2 y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (x' (x y + e^{2 x + y} - y^{\frac{1}{2}}))}{2 (x y + e^{2 x + y}) + 2 (- y^{\frac{1}{2}})} = \frac{- x^{2}}{2 x y + 2 e^{2 x + y} - 2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{- e^{2 x + y}}{2 x y + 2 e^{2 x + y} - 2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{\frac{x}{y^{\frac{1}{2}}}}{2 x y + 2 e^{2 x + y} - 2 y^{\frac{1}{2}}}$

Étape 6.7.2.2.5

Factorisez $2$ à partir de $2 (x y + e^{2 x + y}) + 2 (- y^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{2 (x' (x y + e^{2 x + y} - y^{\frac{1}{2}}))}{2 (x y + e^{2 x + y} - y^{\frac{1}{2}})} = \frac{- x^{2}}{2 x y + 2 e^{2 x + y} - 2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{- e^{2 x + y}}{2 x y + 2 e^{2 x + y} - 2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{\frac{x}{y^{\frac{1}{2}}}}{2 x y + 2 e^{2 x + y} - 2 y^{\frac{1}{2}}}$

Étape 6.7.2.2.6

Annulez le facteur commun.

Étape 6.7.2.2.7

Réécrivez l’expression.

$\frac{x' (x y + e^{2 x + y} - y^{\frac{1}{2}})}{x y + e^{2 x + y} - y^{\frac{1}{2}}} = \frac{- x^{2}}{2 x y + 2 e^{2 x + y} - 2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{- e^{2 x + y}}{2 x y + 2 e^{2 x + y} - 2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{\frac{x}{y^{\frac{1}{2}}}}{2 x y + 2 e^{2 x + y} - 2 y^{\frac{1}{2}}}$

Étape 6.7.2.3

Annulez le facteur commun.

Étape 6.7.2.4

Divisez $x'$ par $1$ .

$x' = \frac{- x^{2}}{2 x y + 2 e^{2 x + y} - 2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{- e^{2 x + y}}{2 x y + 2 e^{2 x + y} - 2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{\frac{x}{y^{\frac{1}{2}}}}{2 x y + 2 e^{2 x + y} - 2 y^{\frac{1}{2}}}$

Étape 6.7.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.7.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x' = \frac{- x^{2} - e^{2 x + y} + \frac{x}{y^{\frac{1}{2}}}}{2 x y - 2 y^{\frac{1}{2}} + 2 e^{2 x + y}}$

Étape 6.7.3.2

Pour écrire $- e^{2 x + y}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{y^{\frac{1}{2}}}{y^{\frac{1}{2}}}$ .

$x' = \frac{- x^{2} - e^{2 x + y} \cdot \frac{y^{\frac{1}{2}}}{y^{\frac{1}{2}}} + \frac{x}{y^{\frac{1}{2}}}}{2 x y - 2 y^{\frac{1}{2}} + 2 e^{2 x + y}}$

Étape 6.7.3.3

Associez $- e^{2 x + y}$ et $\frac{y^{\frac{1}{2}}}{y^{\frac{1}{2}}}$ .

$x' = \frac{- x^{2} + \frac{- e^{2 x + y} y^{\frac{1}{2}}}{y^{\frac{1}{2}}} + \frac{x}{y^{\frac{1}{2}}}}{2 x y - 2 y^{\frac{1}{2}} + 2 e^{2 x + y}}$

Étape 6.7.3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x' = \frac{- x^{2} + \frac{- e^{2 x + y} y^{\frac{1}{2}} + x}{y^{\frac{1}{2}}}}{2 x y - 2 y^{\frac{1}{2}} + 2 e^{2 x + y}}$

Étape 6.7.3.5

Pour écrire $- x^{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{y^{\frac{1}{2}}}{y^{\frac{1}{2}}}$ .

$x' = \frac{- x^{2} \cdot \frac{y^{\frac{1}{2}}}{y^{\frac{1}{2}}} + \frac{- e^{2 x + y} y^{\frac{1}{2}} + x}{y^{\frac{1}{2}}}}{2 x y - 2 y^{\frac{1}{2}} + 2 e^{2 x + y}}$

Étape 6.7.3.6

Associez $- x^{2}$ et $\frac{y^{\frac{1}{2}}}{y^{\frac{1}{2}}}$ .

$x' = \frac{\frac{- x^{2} y^{\frac{1}{2}}}{y^{\frac{1}{2}}} + \frac{- e^{2 x + y} y^{\frac{1}{2}} + x}{y^{\frac{1}{2}}}}{2 x y - 2 y^{\frac{1}{2}} + 2 e^{2 x + y}}$

Étape 6.7.3.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x' = \frac{\frac{- x^{2} y^{\frac{1}{2}} - e^{2 x + y} y^{\frac{1}{2}} + x}{y^{\frac{1}{2}}}}{2 x y - 2 y^{\frac{1}{2}} + 2 e^{2 x + y}}$

Étape 6.7.3.8

Factorisez $- 1$ à partir de $- x^{2} y^{\frac{1}{2}}$ .

$x' = \frac{\frac{- (x^{2} y^{\frac{1}{2}}) - e^{2 x + y} y^{\frac{1}{2}} + x}{y^{\frac{1}{2}}}}{2 x y - 2 y^{\frac{1}{2}} + 2 e^{2 x + y}}$

Étape 6.7.3.9

Factorisez $- 1$ à partir de $- e^{2 x + y} y^{\frac{1}{2}}$ .

$x' = \frac{\frac{- (x^{2} y^{\frac{1}{2}}) - (e^{2 x + y} y^{\frac{1}{2}}) + x}{y^{\frac{1}{2}}}}{2 x y - 2 y^{\frac{1}{2}} + 2 e^{2 x + y}}$

Étape 6.7.3.10

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{2} y^{\frac{1}{2}}) - (e^{2 x + y} y^{\frac{1}{2}})$ .

$x' = \frac{\frac{- (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + e^{2 x + y} y^{\frac{1}{2}}) + x}{y^{\frac{1}{2}}}}{2 x y - 2 y^{\frac{1}{2}} + 2 e^{2 x + y}}$

Étape 6.7.3.11

Factorisez $- 1$ à partir de $x$ .

$x' = \frac{\frac{- (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + e^{2 x + y} y^{\frac{1}{2}}) - 1 (- x)}{y^{\frac{1}{2}}}}{2 x y - 2 y^{\frac{1}{2}} + 2 e^{2 x + y}}$

Étape 6.7.3.12

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + e^{2 x + y} y^{\frac{1}{2}}) - 1 (- x)$ .

$x' = \frac{\frac{- (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + e^{2 x + y} y^{\frac{1}{2}} - x)}{y^{\frac{1}{2}}}}{2 x y - 2 y^{\frac{1}{2}} + 2 e^{2 x + y}}$

Étape 6.7.3.13

Simplifiez l’expression.

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Étape 6.7.3.13.1

Réécrivez $- (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + e^{2 x + y} y^{\frac{1}{2}} - x)$ comme $- 1 (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + e^{2 x + y} y^{\frac{1}{2}} - x)$ .

$x' = \frac{\frac{- 1 (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + e^{2 x + y} y^{\frac{1}{2}} - x)}{y^{\frac{1}{2}}}}{2 x y - 2 y^{\frac{1}{2}} + 2 e^{2 x + y}}$

Étape 6.7.3.13.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$x' = \frac{- \frac{x^{2} y^{\frac{1}{2}} + e^{2 x + y} y^{\frac{1}{2}} - x}{y^{\frac{1}{2}}}}{2 x y - 2 y^{\frac{1}{2}} + 2 e^{2 x + y}}$

Étape 6.7.3.14

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x' = - \frac{x^{2} y^{\frac{1}{2}} + e^{2 x + y} y^{\frac{1}{2}} - x}{y^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x y - 2 y^{\frac{1}{2}} + 2 e^{2 x + y}}$

Étape 6.7.3.15

Factorisez $2$ à partir de $2 x y - 2 y^{\frac{1}{2}} + 2 e^{2 x + y}$ .

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Étape 6.7.3.15.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x y$ .

$x' = - \frac{x^{2} y^{\frac{1}{2}} + e^{2 x + y} y^{\frac{1}{2}} - x}{y^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 (x y) - 2 y^{\frac{1}{2}} + 2 e^{2 x + y}}$

Étape 6.7.3.15.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2 y^{\frac{1}{2}}$ .

$x' = - \frac{x^{2} y^{\frac{1}{2}} + e^{2 x + y} y^{\frac{1}{2}} - x}{y^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 (x y) + 2 (- y^{\frac{1}{2}}) + 2 e^{2 x + y}}$

Étape 6.7.3.15.3

Factorisez $2$ à partir de $2 e^{2 x + y}$ .

$x' = - \frac{x^{2} y^{\frac{1}{2}} + e^{2 x + y} y^{\frac{1}{2}} - x}{y^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 (x y) + 2 (- y^{\frac{1}{2}}) + 2 (e^{2 x + y})}$

Étape 6.7.3.15.4

Factorisez $2$ à partir de $2 (x y) + 2 (- y^{\frac{1}{2}})$ .

$x' = - \frac{x^{2} y^{\frac{1}{2}} + e^{2 x + y} y^{\frac{1}{2}} - x}{y^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 (x y - y^{\frac{1}{2}}) + 2 (e^{2 x + y})}$

Étape 6.7.3.15.5

Factorisez $2$ à partir de $2 (x y - y^{\frac{1}{2}}) + 2 (e^{2 x + y})$ .

$x' = - \frac{x^{2} y^{\frac{1}{2}} + e^{2 x + y} y^{\frac{1}{2}} - x}{y^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 (x y - y^{\frac{1}{2}} + e^{2 x + y})}$

Étape 6.7.3.16

Multipliez $\frac{1}{2 (x y - y^{\frac{1}{2}} + e^{2 x + y})}$ par $\frac{x^{2} y^{\frac{1}{2}} + e^{2 x + y} y^{\frac{1}{2}} - x}{y^{\frac{1}{2}}}$ .

$x' = - \frac{x^{2} y^{\frac{1}{2}} + e^{2 x + y} y^{\frac{1}{2}} - x}{2 (x y - y^{\frac{1}{2}} + e^{2 x + y}) y^{\frac{1}{2}}}$

Étape 6.7.3.17

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- \frac{x^{2} y^{\frac{1}{2}} + e^{2 x + y} y^{\frac{1}{2}} - x}{2 (x y - y^{\frac{1}{2}} + e^{2 x + y}) y^{\frac{1}{2}}}$ .

$x' = - \frac{x^{2} y^{\frac{1}{2}} + e^{2 x + y} y^{\frac{1}{2}} - x}{2 y^{\frac{1}{2}} (x y - y^{\frac{1}{2}} + e^{2 x + y})}$

Étape 7

Remplacez $x'$ par $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = - \frac{x^{2} y^{\frac{1}{2}} + e^{2 x + y} y^{\frac{1}{2}} - x}{2 y^{\frac{1}{2}} (x y - y^{\frac{1}{2}} + e^{2 x + y})}$