Calcul infinitésimal Exemples

$t = \frac{2}{x + 3}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (t) = \frac{d}{d x} (\frac{2}{x + 3})$

Étape 2

La dérivée de $t$ par rapport à $x$ est $t'$ .

$t'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 3.1.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{2}{x + 3}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x + 3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x + 3}]$

Étape 3.1.2

Réécrivez $\frac{1}{x + 3}$ comme ${(x + 3)}^{- 1}$ .

$2 \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{- 1}]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x + 3$ .

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Étape 3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x + 3$ .

$2 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x + 3])$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$2 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x + 3])$

Étape 3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + 3$ .

$2 (- {(x + 3)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x + 3])$

Étape 3.3

Différenciez.

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Étape 3.3.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- 2 ({(x + 3)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x + 3])$

Étape 3.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$- 2 {(x + 3)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])$

Étape 3.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 2 {(x + 3)}^{- 2} (1 + \frac{d}{d x} [3])$

Étape 3.3.4

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- 2 {(x + 3)}^{- 2} (1 + 0)$

Étape 3.3.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.3.5.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$- 2 {(x + 3)}^{- 2} \cdot 1$

Étape 3.3.5.2

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$- 2 {(x + 3)}^{- 2}$

Étape 3.4

Simplifiez

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Étape 3.4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 \frac{1}{{(x + 3)}^{2}}$

Étape 3.4.2

Associez des termes.

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Étape 3.4.2.1

Associez $- 2$ et $\frac{1}{{(x + 3)}^{2}}$ .

$\frac{- 2}{{(x + 3)}^{2}}$

Étape 3.4.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2}{{(x + 3)}^{2}}$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$t' = - \frac{2}{{(x + 3)}^{2}}$

Étape 5

Remplacez $t'$ par $\frac{d t}{d x}$ .

$\frac{d t}{d x} = - \frac{2}{{(x + 3)}^{2}}$