Calcul infinitésimal Exemples

$s = 32 + 64 t - 16 t^{2}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d s} (s) = \frac{d}{d s} (32 + 64 t - 16 t^{2})$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d s} [s^{n}]$ est $n s^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez.

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Étape 3.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $32 + 64 t - 16 t^{2}$ par rapport à $s$ est $\frac{d}{d s} [32] + \frac{d}{d s} [64 t] + \frac{d}{d s} [- 16 t^{2}]$ .

$\frac{d}{d s} [32] + \frac{d}{d s} [64 t] + \frac{d}{d s} [- 16 t^{2}]$

Étape 3.1.2

Comme $32$ est constant par rapport à $s$ , la dérivée de $32$ par rapport à $s$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d s} [64 t] + \frac{d}{d s} [- 16 t^{2}]$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d s} [64 t]$ .

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Étape 3.2.1

Comme $64$ est constant par rapport à $s$ , la dérivée de $64 t$ par rapport à $s$ est $64 \frac{d}{d s} [t]$ .

$0 + 64 \frac{d}{d s} [t] + \frac{d}{d s} [- 16 t^{2}]$

Étape 3.2.2

Réécrivez $\frac{d}{d s} [t]$ comme $t'$ .

$0 + 64 t' + \frac{d}{d s} [- 16 t^{2}]$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d s} [- 16 t^{2}]$ .

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Étape 3.3.1

Comme $- 16$ est constant par rapport à $s$ , la dérivée de $- 16 t^{2}$ par rapport à $s$ est $- 16 \frac{d}{d s} [t^{2}]$ .

$0 + 64 t' - 16 \frac{d}{d s} [t^{2}]$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d s} [f (g (s))]$ est $f' (g (s)) g' (s)$ où $f (s) = s^{2}$ et $g (s) = t$ .

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Étape 3.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $t$ .

$0 + 64 t' - 16 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d s} [t])$

Étape 3.3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$0 + 64 t' - 16 (2 u \frac{d}{d s} [t])$

Étape 3.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $t$ .

$0 + 64 t' - 16 (2 t \frac{d}{d s} [t])$

Étape 3.3.3

Réécrivez $\frac{d}{d s} [t]$ comme $t'$ .

$0 + 64 t' - 16 (2 t t')$

Étape 3.3.4

Multipliez $2$ par $- 16$ .

$0 + 64 t' - 32 t t'$

Étape 3.4

Simplifiez

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Étape 3.4.1

Additionnez $0$ et $64 t'$ .

$64 t' - 32 t t'$

Étape 3.4.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$- 32 t t' + 64 t'$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$1 = - 32 t t' + 64 t'$

Étape 5

Résolvez $t'$ .

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Étape 5.1

Réécrivez l’équation comme $- 32 t t' + 64 t' = 1$ .

$- 32 t t' + 64 t' = 1$

Étape 5.2

Factorisez $32 t'$ à partir de $- 32 t t' + 64 t'$ .

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Étape 5.2.1

Factorisez $32 t'$ à partir de $- 32 t t'$ .

$32 t' (- t) + 64 t' = 1$

Étape 5.2.2

Factorisez $32 t'$ à partir de $64 t'$ .

$32 t' (- t) + 32 t' \cdot 2 = 1$

Étape 5.2.3

Factorisez $32 t'$ à partir de $32 t' (- t) + 32 t' \cdot 2$ .

$32 t' (- t + 2) = 1$

Étape 5.3

Divisez chaque terme dans $32 t' (- t + 2) = 1$ par $32 (- t + 2)$ et simplifiez.

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Étape 5.3.1

Divisez chaque terme dans $32 t' (- t + 2) = 1$ par $32 (- t + 2)$ .

$\frac{32 t' (- t + 2)}{32 (- t + 2)} = \frac{1}{32 (- t + 2)}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.1

Annulez le facteur commun de $32$ .

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Étape 5.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{32 t' (- t + 2)}{32 (- t + 2)} = \frac{1}{32 (- t + 2)}$

Étape 5.3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{t' (- t + 2)}{- t + 2} = \frac{1}{32 (- t + 2)}$

Étape 5.3.2.2

Annulez le facteur commun de $- t + 2$ .

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Étape 5.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{t' (- t + 2)}{- t + 2} = \frac{1}{32 (- t + 2)}$

Étape 5.3.2.2.2

Divisez $t'$ par $1$ .

$t' = \frac{1}{32 (- t + 2)}$

Étape 5.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.3.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- t$ .

$t' = \frac{1}{32 (- (t) + 2)}$

Étape 5.3.3.2

Réécrivez $2$ comme $- 1 (- 2)$ .

$t' = \frac{1}{32 (- (t) - 1 (- 2))}$

Étape 5.3.3.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (t) - 1 (- 2)$ .

$t' = \frac{1}{32 (- (t - 2))}$

Étape 5.3.3.4

Réécrivez les nombres négatifs.

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Étape 5.3.3.4.1

Réécrivez $- (t - 2)$ comme $- 1 (t - 2)$ .

$t' = \frac{1}{32 (- 1 (t - 2))}$

Étape 5.3.3.4.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$t' = - \frac{1}{32 (t - 2)}$

Étape 6

Remplacez $t'$ par $\frac{d t}{d s}$ .

$\frac{d t}{d s} = - \frac{1}{32 (t - 2)}$