Calcul infinitésimal Exemples

$u = v^{2} \sqrt{2 v - 9}$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2 u' - 9}$ comme ${(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

$u = {u'}^{2} {(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}$

Étape 2

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d u'} u = \frac{d}{d u'} ({u'}^{2} {(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}})$

Étape 3

La dérivée de $u$ par rapport à $u'$ est $u'$ .

$u'$

Étape 4

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 4.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d v} [f (u') g (u')]$ est $f (u') \frac{d}{d v} [g (u')] + g (u') \frac{d}{d v} [f (u')]$ où $f (u') = {u'}^{2}$ et $g (u') = {(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

${u'}^{2} \frac{d}{d v} [{(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}] + {(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d v} [f (g (u'))]$ est $f' (g (u')) g' (u')$ où $f (u') = {u'}^{\frac{1}{2}}$ et $g (u') = 2 u' - 9$ .

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Étape 4.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 u' - 9$ .

${u'}^{2} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d v} [2 u' - 9]) + {(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Étape 4.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

${u'}^{2} (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d v} [2 u' - 9]) + {(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Étape 4.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 u' - 9$ .

${u'}^{2} (\frac{1}{2} {(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d v} [2 u' - 9]) + {(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Étape 4.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

${u'}^{2} (\frac{1}{2} {(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d v} [2 u' - 9]) + {(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Étape 4.4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

${u'}^{2} (\frac{1}{2} {(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d v} [2 u' - 9]) + {(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Étape 4.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

${u'}^{2} (\frac{1}{2} {(2 u' - 9)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d v} [2 u' - 9]) + {(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Étape 4.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

${u'}^{2} (\frac{1}{2} {(2 u' - 9)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d v} [2 u' - 9]) + {(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Étape 4.6.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

${u'}^{2} (\frac{1}{2} {(2 u' - 9)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d v} [2 u' - 9]) + {(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Étape 4.7

Associez les fractions.

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Étape 4.7.1

Placez le signe moins devant la fraction.

${u'}^{2} (\frac{1}{2} {(2 u' - 9)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [2 u' - 9]) + {(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Étape 4.7.2

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(2 u' - 9)}^{- \frac{1}{2}}$ .

${u'}^{2} (\frac{{(2 u' - 9)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d v} [2 u' - 9]) + {(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Étape 4.7.3

Placez ${(2 u' - 9)}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

${u'}^{2} (\frac{1}{2 {(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d v} [2 u' - 9]) + {(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Étape 4.7.4

Associez $\frac{1}{2 {(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}}$ et ${u'}^{2}$ .

$\frac{{u'}^{2}}{2 {(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d v} [2 u' - 9] + {(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Étape 4.8

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 u' - 9$ par rapport à $u'$ est $\frac{d}{d v} [2 u'] + \frac{d}{d v} [- 9]$ .

$\frac{{u'}^{2}}{2 {(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d v} [2 u'] + \frac{d}{d v} [- 9]) + {(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Étape 4.9

Comme $2$ est constant par rapport à $u'$ , la dérivée de $2 u'$ par rapport à $u'$ est $2 \frac{d}{d v} [u']$ .

$\frac{{u'}^{2}}{2 {(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}} (2 \frac{d}{d v} [u'] + \frac{d}{d v} [- 9]) + {(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Étape 4.10

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d v} [{u'}^{n}]$ est $n {u'}^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{{u'}^{2}}{2 {(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d v} [- 9]) + {(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Étape 4.11

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{{u'}^{2}}{2 {(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}} (2 + \frac{d}{d v} [- 9]) + {(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Étape 4.12

Comme $- 9$ est constant par rapport à $u'$ , la dérivée de $- 9$ par rapport à $u'$ est $0$ .

$\frac{{u'}^{2}}{2 {(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}} (2 + 0) + {(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Étape 4.13

Simplifiez les termes.

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Étape 4.13.1

Additionnez $2$ et $0$ .

$\frac{{u'}^{2}}{2 {(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 2 + {(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Étape 4.13.2

Associez $\frac{{u'}^{2}}{2 {(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}}$ et $2$ .

$\frac{{u'}^{2} \cdot 2}{2 {(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}} + {(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Étape 4.13.3

Déplacez $2$ à gauche de ${u'}^{2}$ .

$\frac{2 \cdot {u'}^{2}}{2 {(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}} + {(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Étape 4.13.4

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 {u'}^{2}}{2 {(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}} + {(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Étape 4.13.5

Réécrivez l’expression.

$\frac{{u'}^{2}}{{(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}} + {(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Étape 4.14

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d v} [{u'}^{n}]$ est $n {u'}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{{u'}^{2}}{{(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}} + {(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}} (2 u')$

Étape 4.15

Déplacez $2$ à gauche de ${(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{u'}^{2}}{{(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}} + 2 \cdot {(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}} u'$

Étape 4.16

Associez $\frac{{u'}^{2}}{{(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}}$ et $2 {(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}} u'$ en utilisant un dénominateur commun.

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Étape 4.16.1

Déplacez ${(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{u'}^{2}}{{(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}} + 2 u' {(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}$

Étape 4.16.2

Pour écrire $2 u' {(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{{(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{{u'}^{2}}{{(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 u' {(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}} {(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.16.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{{u'}^{2} + 2 u' {(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}} {(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.17

Multipliez ${(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}$ par ${(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.17.1

Déplacez ${(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{u'}^{2} + 2 u' ({(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}} {(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}})}{{(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.17.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{{u'}^{2} + 2 u' {(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.17.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{{u'}^{2} + 2 u' {(2 u' - 9)}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.17.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{{u'}^{2} + 2 u' {(2 u' - 9)}^{\frac{2}{2}}}{{(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.17.5

Divisez $2$ par $2$ .

$\frac{{u'}^{2} + 2 u' {(2 u' - 9)}^{1}}{{(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.18

Simplifiez $2 u' {(2 u' - 9)}^{1}$ .

$\frac{{u'}^{2} + 2 u' (2 u' - 9)}{{(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.19

Simplifiez

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Étape 4.19.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{{u'}^{2} + 2 u' (2 u') + 2 u' \cdot - 9}{{(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.19.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.19.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.19.2.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{{u'}^{2} + 2 \cdot 2 u' u' + 2 u' \cdot - 9}{{(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.19.2.1.2

Multipliez $u'$ par $u'$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.19.2.1.2.1

Déplacez $u'$ .

$\frac{{u'}^{2} + 2 \cdot 2 (u' u') + 2 u' \cdot - 9}{{(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.19.2.1.2.2

Multipliez $u'$ par $u'$ .

$\frac{{u'}^{2} + 2 \cdot 2 {u'}^{2} + 2 u' \cdot - 9}{{(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.19.2.1.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{{u'}^{2} + 4 {u'}^{2} + 2 u' \cdot - 9}{{(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.19.2.1.4

Multipliez $- 9$ par $2$ .

$\frac{{u'}^{2} + 4 {u'}^{2} - 18 u'}{{(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.19.2.2

Additionnez ${u'}^{2}$ et $4 {u'}^{2}$ .

$\frac{5 {u'}^{2} - 18 u'}{{(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.19.3

Factorisez $u'$ à partir de $5 {u'}^{2} - 18 u'$ .

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Étape 4.19.3.1

Factorisez $u'$ à partir de $5 {u'}^{2}$ .

$\frac{u' (5 u') - 18 u'}{{(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.19.3.2

Factorisez $u'$ à partir de $- 18 u'$ .

$\frac{u' (5 u') + u' \cdot - 18}{{(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.19.3.3

Factorisez $u'$ à partir de $u' (5 u') + u' \cdot - 18$ .

$\frac{u' (5 u' - 18)}{{(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 5

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$u' = \frac{u' (5 u' - 18)}{{(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 6

Représentez chaque côté de l’équation. La solution est la valeur x du point d’intersection.

Aucune solution

Étape 7

Remplacez $u'$ par $\frac{d u}{d v}$ .

$\frac{d u}{d v}$