Calcul infinitésimal Exemples

$V = \frac{4}{t + 6}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d t} (V) = \frac{d}{d t} (\frac{4}{t + 6})$

Étape 2

La dérivée de $V$ par rapport à $t$ est $V'$ .

$V'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 3.1.1

Comme $4$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $\frac{4}{t + 6}$ par rapport à $t$ est $4 \frac{d}{d t} [\frac{1}{t + 6}]$ .

$4 \frac{d}{d t} [\frac{1}{t + 6}]$

Étape 3.1.2

Réécrivez $\frac{1}{t + 6}$ comme ${(t + 6)}^{- 1}$ .

$4 \frac{d}{d t} [{(t + 6)}^{- 1}]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = t^{- 1}$ et $g (t) = t + 6$ .

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Étape 3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $t + 6$ .

$4 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d t} [t + 6])$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$4 (- u^{- 2} \frac{d}{d t} [t + 6])$

Étape 3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $t + 6$ .

$4 (- {(t + 6)}^{- 2} \frac{d}{d t} [t + 6])$

Étape 3.3

Différenciez.

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Étape 3.3.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$- 4 ({(t + 6)}^{- 2} \frac{d}{d t} [t + 6])$

Étape 3.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $t + 6$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [6]$ .

$- 4 {(t + 6)}^{- 2} (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [6])$

Étape 3.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 4 {(t + 6)}^{- 2} (1 + \frac{d}{d t} [6])$

Étape 3.3.4

Comme $6$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $6$ par rapport à $t$ est $0$ .

$- 4 {(t + 6)}^{- 2} (1 + 0)$

Étape 3.3.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.3.5.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$- 4 {(t + 6)}^{- 2} \cdot 1$

Étape 3.3.5.2

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$- 4 {(t + 6)}^{- 2}$

Étape 3.4

Simplifiez

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Étape 3.4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 4 \frac{1}{{(t + 6)}^{2}}$

Étape 3.4.2

Associez des termes.

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Étape 3.4.2.1

Associez $- 4$ et $\frac{1}{{(t + 6)}^{2}}$ .

$\frac{- 4}{{(t + 6)}^{2}}$

Étape 3.4.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{4}{{(t + 6)}^{2}}$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$V' = - \frac{4}{{(t + 6)}^{2}}$

Étape 5

Remplacez $V'$ par $\frac{d V}{d t}$ .

$\frac{d V}{d t} = - \frac{4}{{(t + 6)}^{2}}$