Calcul infinitésimal Exemples

$r = \frac{4 e^{w}}{5 w}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d w} (r) = \frac{d}{d w} (\frac{4 e^{w}}{5 w})$

Étape 2

La dérivée de $r$ par rapport à $w$ est $r'$ .

$r'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Comme $\frac{4}{5}$ est constant par rapport à $w$ , la dérivée de $\frac{4 e^{w}}{5 w}$ par rapport à $w$ est $\frac{4}{5} \frac{d}{d w} [\frac{e^{w}}{w}]$ .

$\frac{4}{5} \frac{d}{d w} [\frac{e^{w}}{w}]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d w} [\frac{f (w)}{g (w)}]$ est $\frac{g (w) \frac{d}{d w} [f (w)] - f (w) \frac{d}{d w} [g (w)]}{{g (w)}^{2}}$ où $f (w) = e^{w}$ et $g (w) = w$ .

$\frac{4}{5} \cdot \frac{w \frac{d}{d w} [e^{w}] - e^{w} \frac{d}{d w} [w]}{w^{2}}$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d w} [a^{w}]$ est $a^{w} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{4}{5} \cdot \frac{w e^{w} - e^{w} \frac{d}{d w} [w]}{w^{2}}$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 3.4.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ est $n w^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{4}{5} \cdot \frac{w e^{w} - e^{w} \cdot 1}{w^{2}}$

Étape 3.4.2

Associez les fractions.

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Étape 3.4.2.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{4}{5} \cdot \frac{w e^{w} - e^{w}}{w^{2}}$

Étape 3.4.2.2

Multipliez $\frac{4}{5}$ par $\frac{w e^{w} - e^{w}}{w^{2}}$ .

$\frac{4 (w e^{w} - e^{w})}{5 w^{2}}$

Étape 3.5

Simplifiez

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Étape 3.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 (w e^{w}) + 4 (- e^{w})}{5 w^{2}}$

Étape 3.5.2

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$\frac{4 w e^{w} - 4 e^{w}}{5 w^{2}}$

Étape 3.5.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{4 e^{w} w - 4 e^{w}}{5 w^{2}}$

Étape 3.5.4

Factorisez $4 e^{w}$ à partir de $4 e^{w} w - 4 e^{w}$ .

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Étape 3.5.4.1

Factorisez $4 e^{w}$ à partir de $4 e^{w} w$ .

$\frac{4 e^{w} (w) - 4 e^{w}}{5 w^{2}}$

Étape 3.5.4.2

Factorisez $4 e^{w}$ à partir de $- 4 e^{w}$ .

$\frac{4 e^{w} (w) + 4 e^{w} (- 1)}{5 w^{2}}$

Étape 3.5.4.3

Factorisez $4 e^{w}$ à partir de $4 e^{w} (w) + 4 e^{w} (- 1)$ .

$\frac{4 e^{w} (w - 1)}{5 w^{2}}$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$r' = \frac{4 e^{w} (w - 1)}{5 w^{2}}$

Étape 5

Remplacez $r'$ par $\frac{d r}{d w}$ .

$\frac{d r}{d w} = \frac{4 e^{w} (w - 1)}{5 w^{2}}$