Calcul infinitésimal Exemples

$s = t^{5} \ln (t)$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d t} (s) = \frac{d}{d t} (t^{5} \ln (t))$

Étape 2

La dérivée de $s$ par rapport à $t$ est $s'$ .

$s'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ est $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ où $f (t) = t^{5}$ et $g (t) = \ln (t)$ .

$t^{5} \frac{d}{d t} [\ln (t)] + \ln (t) \frac{d}{d t} [t^{5}]$

Étape 3.2

La dérivée de $\ln (t)$ par rapport à $t$ est $\frac{1}{t}$ .

$t^{5} \frac{1}{t} + \ln (t) \frac{d}{d t} [t^{5}]$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 3.3.1

Associez $t^{5}$ et $\frac{1}{t}$ .

$\frac{t^{5}}{t} + \ln (t) \frac{d}{d t} [t^{5}]$

Étape 3.3.2

Annulez le facteur commun à $t^{5}$ et $t$ .

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Étape 3.3.2.1

Factorisez $t$ à partir de $t^{5}$ .

$\frac{t \cdot t^{4}}{t} + \ln (t) \frac{d}{d t} [t^{5}]$

Étape 3.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.3.2.2.1

Élevez $t$ à la puissance $1$ .

$\frac{t \cdot t^{4}}{t^{1}} + \ln (t) \frac{d}{d t} [t^{5}]$

Étape 3.3.2.2.2

Factorisez $t$ à partir de $t^{1}$ .

$\frac{t \cdot t^{4}}{t \cdot 1} + \ln (t) \frac{d}{d t} [t^{5}]$

Étape 3.3.2.2.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{t \cdot t^{4}}{t \cdot 1} + \ln (t) \frac{d}{d t} [t^{5}]$

Étape 3.3.2.2.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{t^{4}}{1} + \ln (t) \frac{d}{d t} [t^{5}]$

Étape 3.3.2.2.5

Divisez $t^{4}$ par $1$ .

$t^{4} + \ln (t) \frac{d}{d t} [t^{5}]$

Étape 3.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$t^{4} + \ln (t) (5 t^{4})$

Étape 3.3.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$t^{4} + 5 t^{4} \ln (t)$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$s' = t^{4} + 5 t^{4} \ln (t)$

Étape 5

Remplacez $s'$ par $\frac{d s}{d t}$ .

$\frac{d s}{d t} = t^{4} + 5 t^{4} \ln (t)$