Calcul infinitésimal Exemples

$r = \frac{1}{3 s^{2}} - \frac{5}{2 s}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d s} (r) = \frac{d}{d s} (\frac{1}{3 s^{2}} - \frac{5}{2 s})$

Étape 2

La dérivée de $r$ par rapport à $s$ est $r'$ .

$r'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{1}{3 s^{2}} - \frac{5}{2 s}$ par rapport à $s$ est $\frac{d}{d s} [\frac{1}{3 s^{2}}] + \frac{d}{d s} [- \frac{5}{2 s}]$ .

$\frac{d}{d s} [\frac{1}{3 s^{2}}] + \frac{d}{d s} [- \frac{5}{2 s}]$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d s} [\frac{1}{3 s^{2}}]$ .

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Étape 3.2.1

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $s$ , la dérivée de $\frac{1}{3 s^{2}}$ par rapport à $s$ est $\frac{1}{3} \frac{d}{d s} [\frac{1}{s^{2}}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d s} [\frac{1}{s^{2}}] + \frac{d}{d s} [- \frac{5}{2 s}]$

Étape 3.2.2

Réécrivez $\frac{1}{s^{2}}$ comme ${(s^{2})}^{- 1}$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d s} [{(s^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d s} [- \frac{5}{2 s}]$

Étape 3.2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d s} [f (g (s))]$ est $f' (g (s)) g' (s)$ où $f (s) = s^{- 1}$ et $g (s) = s^{2}$ .

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Étape 3.2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $s^{2}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d s} [s^{2}]) + \frac{d}{d s} [- \frac{5}{2 s}]$

Étape 3.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$\frac{1}{3} (- u^{- 2} \frac{d}{d s} [s^{2}]) + \frac{d}{d s} [- \frac{5}{2 s}]$

Étape 3.2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $s^{2}$ .

$\frac{1}{3} (- {(s^{2})}^{- 2} \frac{d}{d s} [s^{2}]) + \frac{d}{d s} [- \frac{5}{2 s}]$

Étape 3.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d s} [s^{n}]$ est $n s^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{1}{3} (- {(s^{2})}^{- 2} (2 s)) + \frac{d}{d s} [- \frac{5}{2 s}]$

Étape 3.2.5

Multipliez les exposants dans ${(s^{2})}^{- 2}$ .

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Étape 3.2.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} (- s^{2 \cdot - 2} (2 s)) + \frac{d}{d s} [- \frac{5}{2 s}]$

Étape 3.2.5.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$\frac{1}{3} (- s^{- 4} (2 s)) + \frac{d}{d s} [- \frac{5}{2 s}]$

Étape 3.2.6

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{1}{3} (- 2 s^{- 4} s) + \frac{d}{d s} [- \frac{5}{2 s}]$

Étape 3.2.7

Élevez $s$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{3} (- 2 (s^{1} s^{- 4})) + \frac{d}{d s} [- \frac{5}{2 s}]$

Étape 3.2.8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{3} (- 2 s^{1 - 4}) + \frac{d}{d s} [- \frac{5}{2 s}]$

Étape 3.2.9

Soustrayez $4$ de $1$ .

$\frac{1}{3} (- 2 s^{- 3}) + \frac{d}{d s} [- \frac{5}{2 s}]$

Étape 3.2.10

Associez $- 2$ et $\frac{1}{3}$ .

$\frac{- 2}{3} s^{- 3} + \frac{d}{d s} [- \frac{5}{2 s}]$

Étape 3.2.11

Associez $\frac{- 2}{3}$ et $s^{- 3}$ .

$\frac{- 2 s^{- 3}}{3} + \frac{d}{d s} [- \frac{5}{2 s}]$

Étape 3.2.12

Placez $s^{- 3}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 2}{3 s^{3}} + \frac{d}{d s} [- \frac{5}{2 s}]$

Étape 3.2.13

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2}{3 s^{3}} + \frac{d}{d s} [- \frac{5}{2 s}]$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d s} [- \frac{5}{2 s}]$ .

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Étape 3.3.1

Comme $- \frac{5}{2}$ est constant par rapport à $s$ , la dérivée de $- \frac{5}{2 s}$ par rapport à $s$ est $- \frac{5}{2} \frac{d}{d s} [\frac{1}{s}]$ .

$- \frac{2}{3 s^{3}} - \frac{5}{2} \frac{d}{d s} [\frac{1}{s}]$

Étape 3.3.2

Réécrivez $\frac{1}{s}$ comme $s^{- 1}$ .

$- \frac{2}{3 s^{3}} - \frac{5}{2} \frac{d}{d s} [s^{- 1}]$

Étape 3.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d s} [s^{n}]$ est $n s^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$- \frac{2}{3 s^{3}} - \frac{5}{2} (- s^{- 2})$

Étape 3.3.4

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- \frac{2}{3 s^{3}} + 1 (\frac{5}{2}) s^{- 2}$

Étape 3.3.5

Multipliez $\frac{5}{2}$ par $1$ .

$- \frac{2}{3 s^{3}} + \frac{5}{2} s^{- 2}$

Étape 3.3.6

Associez $\frac{5}{2}$ et $s^{- 2}$ .

$- \frac{2}{3 s^{3}} + \frac{5 s^{- 2}}{2}$

Étape 3.3.7

Placez $s^{- 2}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{2}{3 s^{3}} + \frac{5}{2 s^{2}}$

Étape 3.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{5}{2 s^{2}} - \frac{2}{3 s^{3}}$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$r' = \frac{5}{2 s^{2}} - \frac{2}{3 s^{3}}$

Étape 5

Remplacez $r'$ par $\frac{d r}{d s}$ .

$\frac{d r}{d s} = \frac{5}{2 s^{2}} - \frac{2}{3 s^{3}}$