Calcul infinitésimal Exemples

$r = \frac{1}{2 s} - \frac{8}{5 s^{4}}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d s} (r) = \frac{d}{d s} (\frac{1}{2 s} - \frac{8}{5 s^{4}})$

Étape 2

La dérivée de $r$ par rapport à $s$ est $r'$ .

$r'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{1}{2 s} - \frac{8}{5 s^{4}}$ par rapport à $s$ est $\frac{d}{d s} [\frac{1}{2 s}] + \frac{d}{d s} [- \frac{8}{5 s^{4}}]$ .

$\frac{d}{d s} [\frac{1}{2 s}] + \frac{d}{d s} [- \frac{8}{5 s^{4}}]$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d s} [\frac{1}{2 s}]$ .

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Étape 3.2.1

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $s$ , la dérivée de $\frac{1}{2 s}$ par rapport à $s$ est $\frac{1}{2} \frac{d}{d s} [\frac{1}{s}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d s} [\frac{1}{s}] + \frac{d}{d s} [- \frac{8}{5 s^{4}}]$

Étape 3.2.2

Réécrivez $\frac{1}{s}$ comme $s^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d s} [s^{- 1}] + \frac{d}{d s} [- \frac{8}{5 s^{4}}]$

Étape 3.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d s} [s^{n}]$ est $n s^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$\frac{1}{2} (- s^{- 2}) + \frac{d}{d s} [- \frac{8}{5 s^{4}}]$

Étape 3.2.4

Associez $\frac{1}{2}$ et $s^{- 2}$ .

$- \frac{s^{- 2}}{2} + \frac{d}{d s} [- \frac{8}{5 s^{4}}]$

Étape 3.2.5

Placez $s^{- 2}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{2 s^{2}} + \frac{d}{d s} [- \frac{8}{5 s^{4}}]$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d s} [- \frac{8}{5 s^{4}}]$ .

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Étape 3.3.1

Comme $- \frac{8}{5}$ est constant par rapport à $s$ , la dérivée de $- \frac{8}{5 s^{4}}$ par rapport à $s$ est $- \frac{8}{5} \frac{d}{d s} [\frac{1}{s^{4}}]$ .

$- \frac{1}{2 s^{2}} - \frac{8}{5} \frac{d}{d s} [\frac{1}{s^{4}}]$

Étape 3.3.2

Réécrivez $\frac{1}{s^{4}}$ comme ${(s^{4})}^{- 1}$ .

$- \frac{1}{2 s^{2}} - \frac{8}{5} \frac{d}{d s} [{(s^{4})}^{- 1}]$

Étape 3.3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d s} [f (g (s))]$ est $f' (g (s)) g' (s)$ où $f (s) = s^{- 1}$ et $g (s) = s^{4}$ .

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Étape 3.3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $s^{4}$ .

$- \frac{1}{2 s^{2}} - \frac{8}{5} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d s} [s^{4}])$

Étape 3.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$- \frac{1}{2 s^{2}} - \frac{8}{5} (- u^{- 2} \frac{d}{d s} [s^{4}])$

Étape 3.3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $s^{4}$ .

$- \frac{1}{2 s^{2}} - \frac{8}{5} (- {(s^{4})}^{- 2} \frac{d}{d s} [s^{4}])$

Étape 3.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d s} [s^{n}]$ est $n s^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$- \frac{1}{2 s^{2}} - \frac{8}{5} (- {(s^{4})}^{- 2} (4 s^{3}))$

Étape 3.3.5

Multipliez les exposants dans ${(s^{4})}^{- 2}$ .

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Étape 3.3.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{2 s^{2}} - \frac{8}{5} (- s^{4 \cdot - 2} (4 s^{3}))$

Étape 3.3.5.2

Multipliez $4$ par $- 2$ .

$- \frac{1}{2 s^{2}} - \frac{8}{5} (- s^{- 8} (4 s^{3}))$

Étape 3.3.6

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$- \frac{1}{2 s^{2}} - \frac{8}{5} (- 4 s^{- 8} s^{3})$

Étape 3.3.7

Multipliez $s^{- 8}$ par $s^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.3.7.1

Déplacez $s^{3}$ .

$- \frac{1}{2 s^{2}} - \frac{8}{5} (- 4 (s^{3} s^{- 8}))$

Étape 3.3.7.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{1}{2 s^{2}} - \frac{8}{5} (- 4 s^{3 - 8})$

Étape 3.3.7.3

Soustrayez $8$ de $3$ .

$- \frac{1}{2 s^{2}} - \frac{8}{5} (- 4 s^{- 5})$

Étape 3.3.8

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$- \frac{1}{2 s^{2}} + 4 (\frac{8}{5}) s^{- 5}$

Étape 3.3.9

Associez $4$ et $\frac{8}{5}$ .

$- \frac{1}{2 s^{2}} + \frac{4 \cdot 8}{5} s^{- 5}$

Étape 3.3.10

Multipliez $4$ par $8$ .

$- \frac{1}{2 s^{2}} + \frac{32}{5} s^{- 5}$

Étape 3.3.11

Associez $\frac{32}{5}$ et $s^{- 5}$ .

$- \frac{1}{2 s^{2}} + \frac{32 s^{- 5}}{5}$

Étape 3.3.12

Placez $s^{- 5}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{2 s^{2}} + \frac{32}{5 s^{5}}$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$r' = - \frac{1}{2 s^{2}} + \frac{32}{5 s^{5}}$

Étape 5

Remplacez $r'$ par $\frac{d r}{d s}$ .

$\frac{d r}{d s} = - \frac{1}{2 s^{2}} + \frac{32}{5 s^{5}}$