Calcul infinitésimal Exemples

$y = x \sqrt{5 - x^{2}}$

Étape 1

Déterminez les abscisses à l’origine.

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Étape 1.1

Pour déterminer la ou les abscisses à l’origine, remplacez $y$ par $0$ et résolvez $x$ .

$0 = x \sqrt{5 - x^{2}}$

Étape 1.2

Résolvez l’équation.

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Étape 1.2.1

Réécrivez l’équation comme $x \sqrt{5 - x^{2}} = 0$ .

$x \sqrt{5 - x^{2}} = 0$

Étape 1.2.2

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${(x \sqrt{5 - x^{2}})}^{2} = 0^{2}$

Étape 1.2.3

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 1.2.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{5 - x^{2}}$ comme ${(5 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

${(x {(5 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Étape 1.2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.3.2.1

Simplifiez ${(x {(5 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 1.2.3.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $x {(5 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{2} {({(5 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Étape 1.2.3.2.1.2

Multipliez les exposants dans ${({(5 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 1.2.3.2.1.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{2} {(5 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Étape 1.2.3.2.1.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.2.3.2.1.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$x^{2} {(5 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Étape 1.2.3.2.1.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$x^{2} {(5 - x^{2})}^{1} = 0^{2}$

Étape 1.2.3.2.1.3

Simplifiez

$x^{2} (5 - x^{2}) = 0^{2}$

Étape 1.2.3.2.1.4

Simplifiez en multipliant.

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Étape 1.2.3.2.1.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} \cdot 5 + x^{2} (- x^{2}) = 0^{2}$

Étape 1.2.3.2.1.4.2

Remettez dans l’ordre.

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Étape 1.2.3.2.1.4.2.1

Déplacez $5$ à gauche de $x^{2}$ .

$5 \cdot x^{2} + x^{2} (- x^{2}) = 0^{2}$

Étape 1.2.3.2.1.4.2.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$5 \cdot x^{2} - x^{2} x^{2} = 0^{2}$

Étape 1.2.3.2.1.5

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.2.3.2.1.5.1

Déplacez $x^{2}$ .

$5 x^{2} - (x^{2} x^{2}) = 0^{2}$

Étape 1.2.3.2.1.5.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$5 x^{2} - x^{2 + 2} = 0^{2}$

Étape 1.2.3.2.1.5.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$5 x^{2} - x^{4} = 0^{2}$

Étape 1.2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.3.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$5 x^{2} - x^{4} = 0$

Étape 1.2.4

Résolvez $x$ .

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Étape 1.2.4.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $5 x^{2} - x^{4}$ .

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Étape 1.2.4.1.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $5 x^{2}$ .

$x^{2} \cdot 5 - x^{4} = 0$

Étape 1.2.4.1.2

Factorisez $x^{2}$ à partir de $- x^{4}$ .

$x^{2} \cdot 5 + x^{2} (- x^{2}) = 0$

Étape 1.2.4.1.3

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{2} \cdot 5 + x^{2} (- x^{2})$ .

$x^{2} (5 - x^{2}) = 0$

Étape 1.2.4.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x^{2} = 0$

$5 - x^{2} = 0$

Étape 1.2.4.3

Définissez $x^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.4.3.1

Définissez $x^{2}$ égal à $0$ .

$x^{2} = 0$

Étape 1.2.4.3.2

Résolvez $x^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 1.2.4.3.2.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{0}$

Étape 1.2.4.3.2.2

Simplifiez $\pm \sqrt{0}$ .

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Étape 1.2.4.3.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Étape 1.2.4.3.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 0$

Étape 1.2.4.3.2.2.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 1.2.4.4

Définissez $5 - x^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.4.4.1

Définissez $5 - x^{2}$ égal à $0$ .

$5 - x^{2} = 0$

Étape 1.2.4.4.2

Résolvez $5 - x^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 1.2.4.4.2.1

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$- x^{2} = - 5$

Étape 1.2.4.4.2.2

Divisez chaque terme dans $- x^{2} = - 5$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 1.2.4.4.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- x^{2} = - 5$ par $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 5}{- 1}$

Étape 1.2.4.4.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.4.4.2.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 5}{- 1}$

Étape 1.2.4.4.2.2.2.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{- 5}{- 1}$

Étape 1.2.4.4.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.4.4.2.2.3.1

Divisez $- 5$ par $- 1$ .

$x^{2} = 5$

Étape 1.2.4.4.2.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{5}$

Étape 1.2.4.4.2.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 1.2.4.4.2.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \sqrt{5}$

Étape 1.2.4.4.2.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \sqrt{5}$

Étape 1.2.4.4.2.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \sqrt{5}, - \sqrt{5}$

Étape 1.2.4.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $x^{2} (5 - x^{2}) = 0$ vraie.

$x = 0, \sqrt{5}, - \sqrt{5}$

Étape 1.3

abscisse(s) à l’origine en forme de point.

abscisse(s) à l’origine : $(0, 0), (\sqrt{5}, 0), (- \sqrt{5}, 0)$

Étape 2

Déterminez les ordonnées à l’origine.

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Étape 2.1

Pour trouver la ou les ordonnées à l’origine, remplacez $x$ par $0$ et résolvez $y$ .

$y = (0) \sqrt{5 - {(0)}^{2}}$

Étape 2.2

Résolvez l’équation.

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Étape 2.2.1

Supprimez les parenthèses.

$y = 0 \sqrt{5 - 0^{2}}$

Étape 2.2.2

Supprimez les parenthèses.

$y = (0) \sqrt{5 - {(0)}^{2}}$

Étape 2.2.3

Simplifiez $(0) \sqrt{5 - {(0)}^{2}}$ .

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Étape 2.2.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$y = 0 \sqrt{5 - 0}$

Étape 2.2.3.2

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$y = 0 \sqrt{5 + 0}$

Étape 2.2.3.3

Additionnez $5$ et $0$ .

$y = 0 \sqrt{5}$

Étape 2.2.3.4

Multipliez $0$ par $\sqrt{5}$ .

$y = 0$

Étape 2.3

ordonnée(s) à l’origine en forme de point.

ordonnée(s) à l’origine : $(0, 0)$

Étape 3

Indiquez les intersections.

abscisse(s) à l’origine : $(0, 0), (\sqrt{5}, 0), (- \sqrt{5}, 0)$

ordonnée(s) à l’origine : $(0, 0)$

Étape 4