Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{3} - 18 x^{2} + 81 x$

Étape 1

Déterminez les abscisses à l’origine.

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Étape 1.1

Pour déterminer la ou les abscisses à l’origine, remplacez $y$ par $0$ et résolvez $x$ .

$0 = x^{3} - 18 x^{2} + 81 x$

Étape 1.2

Résolvez l’équation.

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Étape 1.2.1

Réécrivez l’équation comme $x^{3} - 18 x^{2} + 81 x = 0$ .

$x^{3} - 18 x^{2} + 81 x = 0$

Étape 1.2.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.2.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{3} - 18 x^{2} + 81 x$ .

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Étape 1.2.2.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{3}$ .

$x \cdot x^{2} - 18 x^{2} + 81 x = 0$

Étape 1.2.2.1.2

Factorisez $x$ à partir de $- 18 x^{2}$ .

$x \cdot x^{2} + x (- 18 x) + 81 x = 0$

Étape 1.2.2.1.3

Factorisez $x$ à partir de $81 x$ .

$x \cdot x^{2} + x (- 18 x) + x \cdot 81 = 0$

Étape 1.2.2.1.4

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x^{2} + x (- 18 x)$ .

$x (x^{2} - 18 x) + x \cdot 81 = 0$

Étape 1.2.2.1.5

Factorisez $x$ à partir de $x (x^{2} - 18 x) + x \cdot 81$ .

$x (x^{2} - 18 x + 81) = 0$

Étape 1.2.2.2

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 1.2.2.2.1

Réécrivez $81$ comme $9^{2}$ .

$x (x^{2} - 18 x + 9^{2}) = 0$

Étape 1.2.2.2.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$18 x = 2 \cdot x \cdot 9$

Étape 1.2.2.2.3

Réécrivez le polynôme.

$x (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 9 + 9^{2}) = 0$

Étape 1.2.2.2.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = x$ et $b = 9$ .

$x {(x - 9)}^{2} = 0$

Étape 1.2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

${(x - 9)}^{2} = 0$

Étape 1.2.4

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 1.2.5

Définissez ${(x - 9)}^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.5.1

Définissez ${(x - 9)}^{2}$ égal à $0$ .

${(x - 9)}^{2} = 0$

Étape 1.2.5.2

Résolvez ${(x - 9)}^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 1.2.5.2.1

Définissez le $x - 9$ égal à $0$ .

$x - 9 = 0$

Étape 1.2.5.2.2

Ajoutez $9$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 9$

Étape 1.2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $x {(x - 9)}^{2} = 0$ vraie.

$x = 0, 9$

Étape 1.3

abscisse(s) à l’origine en forme de point.

abscisse(s) à l’origine : $(0, 0), (9, 0)$

Étape 2

Déterminez les ordonnées à l’origine.

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Étape 2.1

Pour trouver la ou les ordonnées à l’origine, remplacez $x$ par $0$ et résolvez $y$ .

$y = {(0)}^{3} - 18 {(0)}^{2} + 81 (0)$

Étape 2.2

Résolvez l’équation.

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Étape 2.2.1

Supprimez les parenthèses.

$y = 0^{3} - 18 {(0)}^{2} + 81 (0)$

Étape 2.2.2

Supprimez les parenthèses.

$y = 0^{3} - 18 \cdot 0^{2} + 81 (0)$

Étape 2.2.3

Supprimez les parenthèses.

$y = {(0)}^{3} - 18 {(0)}^{2} + 81 (0)$

Étape 2.2.4

Simplifiez ${(0)}^{3} - 18 {(0)}^{2} + 81 (0)$ .

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Étape 2.2.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.4.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$y = 0 - 18 {(0)}^{2} + 81 (0)$

Étape 2.2.4.1.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$y = 0 - 18 \cdot 0 + 81 (0)$

Étape 2.2.4.1.3

Multipliez $- 18$ par $0$ .

$y = 0 + 0 + 81 (0)$

Étape 2.2.4.1.4

Multipliez $81$ par $0$ .

$y = 0 + 0 + 0$

Étape 2.2.4.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 2.2.4.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$y = 0 + 0$

Étape 2.2.4.2.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$y = 0$

Étape 2.3

ordonnée(s) à l’origine en forme de point.

ordonnée(s) à l’origine : $(0, 0)$

Étape 3

Indiquez les intersections.

abscisse(s) à l’origine : $(0, 0), (9, 0)$

ordonnée(s) à l’origine : $(0, 0)$

Étape 4