Calcul infinitésimal Exemples

$y = \sin (\sqrt{x})$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = \sqrt{x}$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\sqrt{x}$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$

Étape 1.2

La dérivée de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\sqrt{x}$ .

$\cos (\sqrt{x}) \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\cos (\sqrt{x}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\cos (\sqrt{x}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Étape 3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\cos (\sqrt{x}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Étape 4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\cos (\sqrt{x}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\cos (\sqrt{x}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\cos (\sqrt{x}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Étape 6.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\cos (\sqrt{x}) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Étape 7

Placez le signe moins devant la fraction.

$\cos (\sqrt{x}) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Étape 8

Simplifiez

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Étape 8.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\cos (\sqrt{x}) (\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})$

Étape 8.2

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\cos (\sqrt{x}) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 9

Associez $\cos (\sqrt{x})$ et $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\cos (\sqrt{x})}{2 x^{\frac{1}{2}}}$