Calcul infinitésimal Exemples

$h (x) = 7 x^{2} (6 x + 5^{2})$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = 7 x^{2}$ et $g (x) = 6 x + 5^{2}$ .

$7 x^{2} \frac{d}{d x} [6 x + 5^{2}] + (6 x + 5^{2}) \frac{d}{d x} [7 x^{2}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle de la somme.

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Étape 2.1

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$7 x^{2} \frac{d}{d x} [6 x + 25] + (6 x + 5^{2}) \frac{d}{d x} [7 x^{2}]$

Étape 2.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $6 x + 25$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [25]$ .

$7 x^{2} (\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [25]) + (6 x + 5^{2}) \frac{d}{d x} [7 x^{2}]$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

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Étape 3.1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 x$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$7 x^{2} (6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [25]) + (6 x + 5^{2}) \frac{d}{d x} [7 x^{2}]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$7 x^{2} (6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [25]) + (6 x + 5^{2}) \frac{d}{d x} [7 x^{2}]$

Étape 3.3

Multipliez $6$ par $1$ .

$7 x^{2} (6 + \frac{d}{d x} [25]) + (6 x + 5^{2}) \frac{d}{d x} [7 x^{2}]$

Étape 4

Différenciez.

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Étape 4.1

Comme $25$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $25$ par rapport à $x$ est $0$ .

$7 x^{2} (6 + 0) + (6 x + 5^{2}) \frac{d}{d x} [7 x^{2}]$

Étape 4.2

Additionnez $6$ et $0$ .

$7 x^{2} \cdot 6 + (6 x + 5^{2}) \frac{d}{d x} [7 x^{2}]$

Étape 4.3

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7 x^{2}$ par rapport à $x$ est $7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$7 x^{2} \cdot 6 + (6 x + 5^{2}) (7 \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 4.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$7 x^{2} \cdot 6 + (6 x + 5^{2}) (7 (2 x))$

Étape 4.5

Multipliez $2$ par $7$ .

$7 x^{2} \cdot 6 + (6 x + 5^{2}) (14 x)$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Appliquez la propriété distributive.

$7 x^{2} \cdot 6 + 6 x (14 x) + 5^{2} (14 x)$

Étape 5.2

Associez des termes.

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Étape 5.2.1

Multipliez $6$ par $7$ .

$42 x^{2} + 6 x (14 x) + 5^{2} (14 x)$

Étape 5.2.2

Multipliez $14$ par $6$ .

$42 x^{2} + 84 x \cdot x + 5^{2} (14 x)$

Étape 5.2.3

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$42 x^{2} + 84 (x^{1} x) + 5^{2} (14 x)$

Étape 5.2.4

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$42 x^{2} + 84 (x^{1} x^{1}) + 5^{2} (14 x)$

Étape 5.2.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$42 x^{2} + 84 x^{1 + 1} + 5^{2} (14 x)$

Étape 5.2.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$42 x^{2} + 84 x^{2} + 5^{2} (14 x)$

Étape 5.2.7

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$42 x^{2} + 84 x^{2} + 25 (14 x)$

Étape 5.2.8

Multipliez $14$ par $25$ .

$42 x^{2} + 84 x^{2} + 350 x$

Étape 5.2.9

Additionnez $42 x^{2}$ et $84 x^{2}$ .

$126 x^{2} + 350 x$