Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{5 x - 7}{x^{2} - 2}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = 5 x - 7$ et $g (x) = x^{2} - 2$ .

$\frac{(x^{2} - 2) \frac{d}{d x} [5 x - 7] - (5 x - 7) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2]}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

Étape 2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 x - 7$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$\frac{(x^{2} - 2) (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 7]) - (5 x - 7) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2]}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

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Étape 3.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x^{2} - 2) (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]) - (5 x - 7) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2]}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} - 2) (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 7]) - (5 x - 7) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2]}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

Étape 3.3

Multipliez $5$ par $1$ .

$\frac{(x^{2} - 2) (5 + \frac{d}{d x} [- 7]) - (5 x - 7) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2]}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

Étape 4

Différenciez.

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Étape 4.1

Comme $- 7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 7$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{(x^{2} - 2) (5 + 0) - (5 x - 7) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2]}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

Étape 4.2

Additionnez $5$ et $0$ .

$\frac{(x^{2} - 2) \cdot 5 - (5 x - 7) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2]}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

Étape 4.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{(x^{2} - 2) \cdot 5 - (5 x - 7) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

Étape 4.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} - 2) \cdot 5 - (5 x - 7) (2 x + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

Étape 4.5

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{(x^{2} - 2) \cdot 5 - (5 x - 7) (2 x + 0)}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

Étape 4.6

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$\frac{(x^{2} - 2) \cdot 5 - (5 x - 7) (2 x)}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} \cdot 5 - 2 \cdot 5 - (5 x - 7) (2 x)}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

Étape 5.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} \cdot 5 - 2 \cdot 5 + (- (5 x) - - 7) (2 x)}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

Étape 5.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} \cdot 5 - 2 \cdot 5 - (5 x) (2 x) - - 7 (2 x)}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

Étape 5.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.4.1.1

Déplacez $5$ à gauche de $x^{2}$ .

$\frac{5 \cdot x^{2} - 2 \cdot 5 - (5 x) (2 x) - - 7 (2 x)}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

Étape 5.4.1.2

Multipliez $- 2$ par $5$ .

$\frac{5 x^{2} - 10 - (5 x) (2 x) - - 7 (2 x)}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

Étape 5.4.1.3

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.4.1.3.1

Déplacez $x$ .

$\frac{5 x^{2} - 10 - (5 (x \cdot x)) \cdot 2 - - 7 (2 x)}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

Étape 5.4.1.3.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{5 x^{2} - 10 - (5 x^{2}) \cdot 2 - - 7 (2 x)}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

Étape 5.4.1.4

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$\frac{5 x^{2} - 10 - 5 x^{2} \cdot 2 - - 7 (2 x)}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

Étape 5.4.1.5

Multipliez $2$ par $- 5$ .

$\frac{5 x^{2} - 10 - 10 x^{2} - - 7 (2 x)}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

Étape 5.4.1.6

Multipliez $- 1$ par $- 7$ .

$\frac{5 x^{2} - 10 - 10 x^{2} + 7 (2 x)}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

Étape 5.4.1.7

Multipliez $2$ par $7$ .

$\frac{5 x^{2} - 10 - 10 x^{2} + 14 x}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

Étape 5.4.2

Soustrayez $10 x^{2}$ de $5 x^{2}$ .

$\frac{- 5 x^{2} - 10 + 14 x}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

Étape 5.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- 5 x^{2} + 14 x - 10}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

Étape 5.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 5 x^{2}$ .

$\frac{- (5 x^{2}) + 14 x - 10}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

Étape 5.7

Factorisez $- 1$ à partir de $14 x$ .

$\frac{- (5 x^{2}) - (- 14 x) - 10}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

Étape 5.8

Factorisez $- 1$ à partir de $- (5 x^{2}) - (- 14 x)$ .

$\frac{- (5 x^{2} - 14 x) - 10}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

Étape 5.9

Réécrivez $- 10$ comme $- 1 (10)$ .

$\frac{- (5 x^{2} - 14 x) - 1 (10)}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

Étape 5.10

Factorisez $- 1$ à partir de $- (5 x^{2} - 14 x) - 1 (10)$ .

$\frac{- (5 x^{2} - 14 x + 10)}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

Étape 5.11

Réécrivez $- (5 x^{2} - 14 x + 10)$ comme $- 1 (5 x^{2} - 14 x + 10)$ .

$\frac{- 1 (5 x^{2} - 14 x + 10)}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

Étape 5.12

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{5 x^{2} - 14 x + 10}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$