Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = \sin (x)$ .

$\frac{\sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] - \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}$

Étape 2

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$\frac{\sin (x) (- \sin (x)) - \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}$

Étape 3

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$\frac{\sin (x) (- \sin (x)) - \cos (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{- \sin (x) \sin (x) - \cos (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Étape 4.1.1.2

Multipliez $- \sin (x) \sin (x)$ .

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Étape 4.1.1.2.1

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{- (\sin^{1} (x) \sin (x)) - \cos (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Étape 4.1.1.2.2

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{- (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) - \cos (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Étape 4.1.1.2.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- {\sin (x)}^{1 + 1} - \cos (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Étape 4.1.1.2.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{- \sin^{2} (x) - \cos (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Étape 4.1.1.3

Multipliez $- \cos (x) \cos (x)$ .

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Étape 4.1.1.3.1

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{- \sin^{2} (x) - (\cos^{1} (x) \cos (x))}{\sin^{2} (x)}$

Étape 4.1.1.3.2

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{- \sin^{2} (x) - (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x))}{\sin^{2} (x)}$

Étape 4.1.1.3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- \sin^{2} (x) - {\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin^{2} (x)}$

Étape 4.1.1.3.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{- \sin^{2} (x) - \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Étape 4.1.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- \sin^{2} (x)$ .

$\frac{- (\sin^{2} (x)) - \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Étape 4.1.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- \cos^{2} (x)$ .

$\frac{- (\sin^{2} (x)) - (\cos^{2} (x))}{\sin^{2} (x)}$

Étape 4.1.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- (\sin^{2} (x)) - (\cos^{2} (x))$ .

$\frac{- (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x))}{\sin^{2} (x)}$

Étape 4.1.5

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\frac{- 1 \cdot 1}{\sin^{2} (x)}$

Étape 4.1.6

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{- 1}{\sin^{2} (x)}$

Étape 4.2

Associez des termes.

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Étape 4.2.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{\sin^{2} (x)}$

Étape 4.2.2

Convertissez de $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ à $\csc^{2} (x)$ .

$- \csc^{2} (x)$