Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{\cos (x)}{x^{3}}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = x^{3}$ .

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [\cos (x)] - \cos (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{{(x^{3})}^{2}}$

Étape 2

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$\frac{x^{3} (- \sin (x)) - \cos (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{{(x^{3})}^{2}}$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{x^{3} (- \sin (x)) - \cos (x) (3 x^{2})}{{(x^{3})}^{2}}$

Étape 4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{- x^{3} \sin (x) - \cos (x) (3 x^{2})}{{(x^{3})}^{2}}$

Étape 4.1.1.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{- x^{3} \sin (x) - 3 \cos (x) x^{2}}{{(x^{3})}^{2}}$

Étape 4.1.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- x^{3} \sin (x) - 3 \cos (x) x^{2}$ .

$\frac{- x^{3} \sin (x) - 3 x^{2} \cos (x)}{{(x^{3})}^{2}}$

Étape 4.2

Associez des termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{3})}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- x^{3} \sin (x) - 3 x^{2} \cos (x)}{x^{3 \cdot 2}}$

Étape 4.2.1.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{- x^{3} \sin (x) - 3 x^{2} \cos (x)}{x^{6}}$

Étape 4.2.2

Factorisez $x^{2}$ à partir de $- x^{3} \sin (x) - 3 x^{2} \cos (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $- x^{3} \sin (x)$ .

$\frac{x^{2} (- x \sin (x)) - 3 x^{2} \cos (x)}{x^{6}}$

Étape 4.2.2.2

Factorisez $x^{2}$ à partir de $- 3 x^{2} \cos (x)$ .

$\frac{x^{2} (- x \sin (x)) + x^{2} (- 3 \cos (x))}{x^{6}}$

Étape 4.2.2.3

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{2} (- x \sin (x)) + x^{2} (- 3 \cos (x))$ .

$\frac{x^{2} (- x \sin (x) - 3 \cos (x))}{x^{6}}$

Étape 4.2.3

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.3.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{6}$ .

$\frac{x^{2} (- x \sin (x) - 3 \cos (x))}{x^{2} x^{4}}$

Étape 4.2.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{2} (- x \sin (x) - 3 \cos (x))}{x^{2} x^{4}}$

Étape 4.2.3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- x \sin (x) - 3 \cos (x)}{x^{4}}$

Étape 4.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- x \sin (x)$ .

$\frac{- (x \sin (x)) - 3 \cos (x)}{x^{4}}$

Étape 4.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- 3 \cos (x)$ .

$\frac{- (x \sin (x)) - (3 \cos (x))}{x^{4}}$

Étape 4.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x \sin (x)) - (3 \cos (x))$ .

$\frac{- (x \sin (x) + 3 \cos (x))}{x^{4}}$

Étape 4.6

Réécrivez $- (x \sin (x) + 3 \cos (x))$ comme $- 1 (x \sin (x) + 3 \cos (x))$ .

$\frac{- 1 (x \sin (x) + 3 \cos (x))}{x^{4}}$

Étape 4.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{x \sin (x) + 3 \cos (x)}{x^{4}}$