Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{2}{2 x^{4} - 5}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = 2$ et $g (x) = 2 x^{4} - 5$ .

$\frac{(2 x^{4} - 5) \frac{d}{d x} [2] - 1 \cdot 2 \frac{d}{d x} [2 x^{4} - 5]}{{(2 x^{4} - 5)}^{2}}$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{(2 x^{4} - 5) \cdot 0 - 1 \cdot 2 \frac{d}{d x} [2 x^{4} - 5]}{{(2 x^{4} - 5)}^{2}}$

Étape 2.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x^{4} - 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{(2 x^{4} - 5) \cdot 0 - 1 \cdot 2 (\frac{d}{d x} [2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(2 x^{4} - 5)}^{2}}$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x^{4}]$ .

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Étape 3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{4}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{(2 x^{4} - 5) \cdot 0 - 1 \cdot 2 (2 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(2 x^{4} - 5)}^{2}}$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$\frac{(2 x^{4} - 5) \cdot 0 - 1 \cdot 2 (2 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(2 x^{4} - 5)}^{2}}$

Étape 3.3

Multipliez $4$ par $2$ .

$\frac{(2 x^{4} - 5) \cdot 0 - 1 \cdot 2 (8 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(2 x^{4} - 5)}^{2}}$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 4.1

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{(2 x^{4} - 5) \cdot 0 - 1 \cdot 2 (8 x^{3} + 0)}{{(2 x^{4} - 5)}^{2}}$

Étape 4.2

Additionnez $8 x^{3}$ et $0$ .

$\frac{(2 x^{4} - 5) \cdot 0 - 1 \cdot 2 (8 x^{3})}{{(2 x^{4} - 5)}^{2}}$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x^{4} \cdot 0 - 5 \cdot 0 - 1 \cdot 2 (8 x^{3})}{{(2 x^{4} - 5)}^{2}}$

Étape 5.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1

Multipliez $2 x^{4} \cdot 0$ .

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Étape 5.2.1.1.1

Multipliez $0$ par $2$ .

$\frac{0 x^{4} - 5 \cdot 0 - 1 \cdot 2 (8 x^{3})}{{(2 x^{4} - 5)}^{2}}$

Étape 5.2.1.1.2

Multipliez $0$ par $x^{4}$ .

$\frac{0 - 5 \cdot 0 - 1 \cdot 2 (8 x^{3})}{{(2 x^{4} - 5)}^{2}}$

Étape 5.2.1.2

Multipliez $- 5$ par $0$ .

$\frac{0 + 0 - 1 \cdot 2 (8 x^{3})}{{(2 x^{4} - 5)}^{2}}$

Étape 5.2.1.3

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{0 + 0 - 2 (8 x^{3})}{{(2 x^{4} - 5)}^{2}}$

Étape 5.2.1.4

Multipliez $8$ par $- 2$ .

$\frac{0 + 0 - 16 x^{3}}{{(2 x^{4} - 5)}^{2}}$

Étape 5.2.2

Associez les termes opposés dans $0 + 0 - 16 x^{3}$ .

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Étape 5.2.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$\frac{0 - 16 x^{3}}{{(2 x^{4} - 5)}^{2}}$

Étape 5.2.2.2

Soustrayez $16 x^{3}$ de $0$ .

$\frac{- 16 x^{3}}{{(2 x^{4} - 5)}^{2}}$

Étape 5.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{16 x^{3}}{{(2 x^{4} - 5)}^{2}}$