Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{1}{s + k e^{s}}$

Étape 1

Réécrivez $\frac{1}{s + k e^{s}}$ comme ${(s + k e^{s})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d s} [{(s + k e^{s})}^{- 1}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d s} [f (g (s))]$ est $f' (g (s)) g' (s)$ où $f (s) = s^{- 1}$ et $g (s) = s + k e^{s}$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $s + k e^{s}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d s} [s + k e^{s}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d s} [s + k e^{s}]$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $s + k e^{s}$ .

$- {(s + k e^{s})}^{- 2} \frac{d}{d s} [s + k e^{s}]$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $s + k e^{s}$ par rapport à $s$ est $\frac{d}{d s} [s] + \frac{d}{d s} [k e^{s}]$ .

$- {(s + k e^{s})}^{- 2} (\frac{d}{d s} [s] + \frac{d}{d s} [k e^{s}])$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d s} [s^{n}]$ est $n s^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- {(s + k e^{s})}^{- 2} (1 + \frac{d}{d s} [k e^{s}])$

Étape 3.3

Comme $k$ est constant par rapport à $s$ , la dérivée de $k e^{s}$ par rapport à $s$ est $k \frac{d}{d s} [e^{s}]$ .

$- {(s + k e^{s})}^{- 2} (1 + k \frac{d}{d s} [e^{s}])$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d s} [a^{s}]$ est $a^{s} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$- {(s + k e^{s})}^{- 2} (1 + k e^{s})$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{{(s + k e^{s})}^{2}} (1 + k e^{s})$

Étape 5.2

Réorganisez les facteurs de $- \frac{1}{{(s + k e^{s})}^{2}} (1 + k e^{s})$ .

$- (1 + k e^{s}) \frac{1}{{(s + k e^{s})}^{2}}$

Étape 5.3

Appliquez la propriété distributive.

$(- 1 \cdot 1 - (k e^{s})) \frac{1}{{(s + k e^{s})}^{2}}$

Étape 5.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$(- 1 - (k e^{s})) \frac{1}{{(s + k e^{s})}^{2}}$

Étape 5.5

Multipliez $- 1 - k e^{s}$ par $\frac{1}{{(s + k e^{s})}^{2}}$ .

$\frac{- 1 - k e^{s}}{{(s + k e^{s})}^{2}}$

Étape 5.6

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$\frac{- 1 (1) - k e^{s}}{{(s + k e^{s})}^{2}}$

Étape 5.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- k e^{s}$ .

$\frac{- 1 (1) - (k e^{s})}{{(s + k e^{s})}^{2}}$

Étape 5.8

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (1) - (k e^{s})$ .

$\frac{- 1 (1 + k e^{s})}{{(s + k e^{s})}^{2}}$

Étape 5.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1 + k e^{s}}{{(s + k e^{s})}^{2}}$