Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{1 + \ln (t)}{1 - \ln (t)}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ est $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ où $f (t) = 1 + \ln (t)$ et $g (t) = 1 - \ln (t)$ .

$\frac{(1 - \ln (t)) \frac{d}{d t} [1 + \ln (t)] - (1 + \ln (t)) \frac{d}{d t} [1 - \ln (t)]}{{(1 - \ln (t))}^{2}}$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + \ln (t)$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [\ln (t)]$ .

$\frac{(1 - \ln (t)) (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [\ln (t)]) - (1 + \ln (t)) \frac{d}{d t} [1 - \ln (t)]}{{(1 - \ln (t))}^{2}}$

Étape 2.2

Comme $1$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $1$ par rapport à $t$ est $0$ .

$\frac{(1 - \ln (t)) (0 + \frac{d}{d t} [\ln (t)]) - (1 + \ln (t)) \frac{d}{d t} [1 - \ln (t)]}{{(1 - \ln (t))}^{2}}$

Étape 2.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d t} [\ln (t)]$ .

$\frac{(1 - \ln (t)) \frac{d}{d t} [\ln (t)] - (1 + \ln (t)) \frac{d}{d t} [1 - \ln (t)]}{{(1 - \ln (t))}^{2}}$

Étape 3

La dérivée de $\ln (t)$ par rapport à $t$ est $\frac{1}{t}$ .

$\frac{(1 - \ln (t)) \frac{1}{t} - (1 + \ln (t)) \frac{d}{d t} [1 - \ln (t)]}{{(1 - \ln (t))}^{2}}$

Étape 4

Différenciez.

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Étape 4.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - \ln (t)$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- \ln (t)]$ .

$\frac{(1 - \ln (t)) \frac{1}{t} - (1 + \ln (t)) (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- \ln (t)])}{{(1 - \ln (t))}^{2}}$

Étape 4.2

Comme $1$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $1$ par rapport à $t$ est $0$ .

$\frac{(1 - \ln (t)) \frac{1}{t} - (1 + \ln (t)) (0 + \frac{d}{d t} [- \ln (t)])}{{(1 - \ln (t))}^{2}}$

Étape 4.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d t} [- \ln (t)]$ .

$\frac{(1 - \ln (t)) \frac{1}{t} - (1 + \ln (t)) \frac{d}{d t} [- \ln (t)]}{{(1 - \ln (t))}^{2}}$

Étape 4.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- \ln (t)$ par rapport à $t$ est $- \frac{d}{d t} [\ln (t)]$ .

$\frac{(1 - \ln (t)) \frac{1}{t} - (1 + \ln (t)) (- \frac{d}{d t} [\ln (t)])}{{(1 - \ln (t))}^{2}}$

Étape 4.5

Multipliez.

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Étape 4.5.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{(1 - \ln (t)) \frac{1}{t} + 1 (1 + \ln (t)) \frac{d}{d t} [\ln (t)]}{{(1 - \ln (t))}^{2}}$

Étape 4.5.2

Multipliez $1 + \ln (t)$ par $1$ .

$\frac{(1 - \ln (t)) \frac{1}{t} + (1 + \ln (t)) \frac{d}{d t} [\ln (t)]}{{(1 - \ln (t))}^{2}}$

Étape 5

La dérivée de $\ln (t)$ par rapport à $t$ est $\frac{1}{t}$ .

$\frac{(1 - \ln (t)) \frac{1}{t} + (1 + \ln (t)) \frac{1}{t}}{{(1 - \ln (t))}^{2}}$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1 \frac{1}{t} - \ln (t) \frac{1}{t} + (1 + \ln (t)) \frac{1}{t}}{{(1 - \ln (t))}^{2}}$

Étape 6.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1 \frac{1}{t} - \ln (t) \frac{1}{t} + 1 \frac{1}{t} + \ln (t) \frac{1}{t}}{{(1 - \ln (t))}^{2}}$

Étape 6.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.3.1

Associez les termes opposés dans $1 \frac{1}{t} - \ln (t) \frac{1}{t} + 1 \frac{1}{t} + \ln (t) \frac{1}{t}$ .

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Étape 6.3.1.1

Additionnez $- \ln (t) \frac{1}{t}$ et $\ln (t) \frac{1}{t}$ .

$\frac{1 \frac{1}{t} + 1 \frac{1}{t} + 0}{{(1 - \ln (t))}^{2}}$

Étape 6.3.1.2

Additionnez $1 \frac{1}{t} + 1 \frac{1}{t}$ et $0$ .

$\frac{1 \frac{1}{t} + 1 \frac{1}{t}}{{(1 - \ln (t))}^{2}}$

Étape 6.3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.3.2.1

Multipliez $\frac{1}{t}$ par $1$ .

$\frac{\frac{1}{t} + 1 \frac{1}{t}}{{(1 - \ln (t))}^{2}}$

Étape 6.3.2.2

Multipliez $\frac{1}{t}$ par $1$ .

$\frac{\frac{1}{t} + \frac{1}{t}}{{(1 - \ln (t))}^{2}}$

Étape 6.3.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{1 + 1}{t}}{{(1 - \ln (t))}^{2}}$

Étape 6.3.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\frac{2}{t}}{{(1 - \ln (t))}^{2}}$

Étape 6.4

Associez des termes.

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Étape 6.4.1

Réécrivez $\frac{\frac{2}{t}}{{(1 - \ln (t))}^{2}}$ comme un produit.

$\frac{2}{t} \cdot \frac{1}{{(1 - \ln (t))}^{2}}$

Étape 6.4.2

Multipliez $\frac{2}{t}$ par $\frac{1}{{(1 - \ln (t))}^{2}}$ .

$\frac{2}{t {(1 - \ln (t))}^{2}}$