Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{1}{1 + t}$

Étape 1

Réécrivez $\frac{1}{1 + t}$ comme ${(1 + t)}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d t} [{(1 + t)}^{- 1}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = t^{- 1}$ et $g (t) = 1 + t$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $1 + t$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d t} [1 + t]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d t} [1 + t]$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $1 + t$ .

$- {(1 + t)}^{- 2} \frac{d}{d t} [1 + t]$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + t$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [t]$ .

$- {(1 + t)}^{- 2} (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [t])$

Étape 3.2

Comme $1$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $1$ par rapport à $t$ est $0$ .

$- {(1 + t)}^{- 2} (0 + \frac{d}{d t} [t])$

Étape 3.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d t} [t]$ .

$- {(1 + t)}^{- 2} \frac{d}{d t} [t]$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- {(1 + t)}^{- 2} \cdot 1$

Étape 3.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- {(1 + t)}^{- 2}$

Étape 4

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{{(1 + t)}^{2}}$