Calcul infinitésimal Exemples

$t^{\frac{3}{4}} - 3 t^{\frac{1}{4}}$

Étape 1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $t^{\frac{3}{4}} - 3 t^{\frac{1}{4}}$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [t^{\frac{3}{4}}] + \frac{d}{d t} [- 3 t^{\frac{1}{4}}]$ .

$\frac{d}{d t} [t^{\frac{3}{4}}] + \frac{d}{d t} [- 3 t^{\frac{1}{4}}]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d t} [t^{\frac{3}{4}}]$ .

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = \frac{3}{4}$ .

$\frac{3}{4} t^{\frac{3}{4} - 1} + \frac{d}{d t} [- 3 t^{\frac{1}{4}}]$

Étape 2.2

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{3}{4} t^{\frac{3}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}} + \frac{d}{d t} [- 3 t^{\frac{1}{4}}]$

Étape 2.3

Associez $- 1$ et $\frac{4}{4}$ .

$\frac{3}{4} t^{\frac{3}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}} + \frac{d}{d t} [- 3 t^{\frac{1}{4}}]$

Étape 2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{3}{4} t^{\frac{3 - 1 \cdot 4}{4}} + \frac{d}{d t} [- 3 t^{\frac{1}{4}}]$

Étape 2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.5.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$\frac{3}{4} t^{\frac{3 - 4}{4}} + \frac{d}{d t} [- 3 t^{\frac{1}{4}}]$

Étape 2.5.2

Soustrayez $4$ de $3$ .

$\frac{3}{4} t^{\frac{- 1}{4}} + \frac{d}{d t} [- 3 t^{\frac{1}{4}}]$

Étape 2.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{3}{4} t^{- \frac{1}{4}} + \frac{d}{d t} [- 3 t^{\frac{1}{4}}]$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d t} [- 3 t^{\frac{1}{4}}]$ .

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Étape 3.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- 3 t^{\frac{1}{4}}$ par rapport à $t$ est $- 3 \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{4}}]$ .

$\frac{3}{4} t^{- \frac{1}{4}} - 3 \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{4}}]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{4}$ .

$\frac{3}{4} t^{- \frac{1}{4}} - 3 (\frac{1}{4} t^{\frac{1}{4} - 1})$

Étape 3.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{3}{4} t^{- \frac{1}{4}} - 3 (\frac{1}{4} t^{\frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}})$

Étape 3.4

Associez $- 1$ et $\frac{4}{4}$ .

$\frac{3}{4} t^{- \frac{1}{4}} - 3 (\frac{1}{4} t^{\frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}})$

Étape 3.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{3}{4} t^{- \frac{1}{4}} - 3 (\frac{1}{4} t^{\frac{1 - 1 \cdot 4}{4}})$

Étape 3.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.6.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$\frac{3}{4} t^{- \frac{1}{4}} - 3 (\frac{1}{4} t^{\frac{1 - 4}{4}})$

Étape 3.6.2

Soustrayez $4$ de $1$ .

$\frac{3}{4} t^{- \frac{1}{4}} - 3 (\frac{1}{4} t^{\frac{- 3}{4}})$

Étape 3.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{3}{4} t^{- \frac{1}{4}} - 3 (\frac{1}{4} t^{- \frac{3}{4}})$

Étape 3.8

Associez $\frac{1}{4}$ et $t^{- \frac{3}{4}}$ .

$\frac{3}{4} t^{- \frac{1}{4}} - 3 \frac{t^{- \frac{3}{4}}}{4}$

Étape 3.9

Associez $- 3$ et $\frac{t^{- \frac{3}{4}}}{4}$ .

$\frac{3}{4} t^{- \frac{1}{4}} + \frac{- 3 t^{- \frac{3}{4}}}{4}$

Étape 3.10

Placez $t^{- \frac{3}{4}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{3}{4} t^{- \frac{1}{4}} + \frac{- 3}{4 t^{\frac{3}{4}}}$

Étape 3.11

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{3}{4} t^{- \frac{1}{4}} - \frac{3}{4 t^{\frac{3}{4}}}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{1}{t^{\frac{1}{4}}} - \frac{3}{4 t^{\frac{3}{4}}}$

Étape 4.2

Multipliez $\frac{3}{4}$ par $\frac{1}{t^{\frac{1}{4}}}$ .

$\frac{3}{4 t^{\frac{1}{4}}} - \frac{3}{4 t^{\frac{3}{4}}}$