Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{\ln (t)}{t^{2}}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ est $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ où $f (t) = \ln (t)$ et $g (t) = t^{2}$ .

$\frac{t^{2} \frac{d}{d t} [\ln (t)] - \ln (t) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{{(t^{2})}^{2}}$

Étape 2

Multipliez les exposants dans ${(t^{2})}^{2}$ .

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Étape 2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{t^{2} \frac{d}{d t} [\ln (t)] - \ln (t) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{2 \cdot 2}}$

Étape 2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{t^{2} \frac{d}{d t} [\ln (t)] - \ln (t) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Étape 3

La dérivée de $\ln (t)$ par rapport à $t$ est $\frac{1}{t}$ .

$\frac{t^{2} \frac{1}{t} - \ln (t) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 4.1

Associez $t^{2}$ et $\frac{1}{t}$ .

$\frac{\frac{t^{2}}{t} - \ln (t) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Étape 4.2

Annulez le facteur commun à $t^{2}$ et $t$ .

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Étape 4.2.1

Factorisez $t$ à partir de $t^{2}$ .

$\frac{\frac{t \cdot t}{t} - \ln (t) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Étape 4.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.2.2.1

Élevez $t$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{t \cdot t}{t^{1}} - \ln (t) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Étape 4.2.2.2

Factorisez $t$ à partir de $t^{1}$ .

$\frac{\frac{t \cdot t}{t \cdot 1} - \ln (t) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Étape 4.2.2.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{t \cdot t}{t \cdot 1} - \ln (t) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Étape 4.2.2.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{\frac{t}{1} - \ln (t) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Étape 4.2.2.5

Divisez $t$ par $1$ .

$\frac{t - \ln (t) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Étape 4.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{t - \ln (t) (2 t)}{t^{4}}$

Étape 4.4

Simplifiez en factorisant.

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Étape 4.4.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{t - 2 \ln (t) t}{t^{4}}$

Étape 4.4.2

Factorisez $t$ à partir de $t - 2 \ln (t) t$ .

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Étape 4.4.2.1

Élevez $t$ à la puissance $1$ .

$\frac{t^{1} - 2 \ln (t) t}{t^{4}}$

Étape 4.4.2.2

Factorisez $t$ à partir de $t^{1}$ .

$\frac{t \cdot 1 - 2 \ln (t) t}{t^{4}}$

Étape 4.4.2.3

Factorisez $t$ à partir de $- 2 \ln (t) t$ .

$\frac{t \cdot 1 + t (- 2 \ln (t))}{t^{4}}$

Étape 4.4.2.4

Factorisez $t$ à partir de $t \cdot 1 + t (- 2 \ln (t))$ .

$\frac{t (1 - 2 \ln (t))}{t^{4}}$

Étape 5

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.1

Factorisez $t$ à partir de $t^{4}$ .

$\frac{t (1 - 2 \ln (t))}{t \cdot t^{3}}$

Étape 5.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{t (1 - 2 \ln (t))}{t \cdot t^{3}}$

Étape 5.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1 - 2 \ln (t)}{t^{3}}$

Étape 6

Simplifiez $- 2 \ln (t)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$\frac{1 - \ln (t^{2})}{t^{3}}$