Calcul infinitésimal Exemples

$t e^{- \frac{t}{4}}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ est $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ où $f (t) = t$ et $g (t) = e^{- \frac{t}{4}}$ .

$t \frac{d}{d t} [e^{- \frac{t}{4}}] + e^{- \frac{t}{4}} \frac{d}{d t} [t]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = e^{t}$ et $g (t) = - \frac{t}{4}$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- \frac{t}{4}$ .

$t (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d t} [- \frac{t}{4}]) + e^{- \frac{t}{4}} \frac{d}{d t} [t]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$t (e^{u} \frac{d}{d t} [- \frac{t}{4}]) + e^{- \frac{t}{4}} \frac{d}{d t} [t]$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- \frac{t}{4}$ .

$t (e^{- \frac{t}{4}} \frac{d}{d t} [- \frac{t}{4}]) + e^{- \frac{t}{4}} \frac{d}{d t} [t]$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Comme $- \frac{1}{4}$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- \frac{t}{4}$ par rapport à $t$ est $- \frac{1}{4} \frac{d}{d t} [t]$ .

$t (e^{- \frac{t}{4}} (- \frac{1}{4} \frac{d}{d t} [t])) + e^{- \frac{t}{4}} \frac{d}{d t} [t]$

Étape 3.2

Associez les fractions.

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Étape 3.2.1

Associez $e^{- \frac{t}{4}}$ et $\frac{1}{4}$ .

$t (- \frac{e^{- \frac{t}{4}}}{4} \frac{d}{d t} [t]) + e^{- \frac{t}{4}} \frac{d}{d t} [t]$

Étape 3.2.2

Associez $t$ et $\frac{e^{- \frac{t}{4}}}{4}$ .

$- \frac{t e^{- \frac{t}{4}}}{4} \frac{d}{d t} [t] + e^{- \frac{t}{4}} \frac{d}{d t} [t]$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- \frac{t e^{- \frac{t}{4}}}{4} \cdot 1 + e^{- \frac{t}{4}} \frac{d}{d t} [t]$

Étape 3.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- \frac{t e^{- \frac{t}{4}}}{4} + e^{- \frac{t}{4}} \frac{d}{d t} [t]$

Étape 3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- \frac{t e^{- \frac{t}{4}}}{4} + e^{- \frac{t}{4}} \cdot 1$

Étape 3.6

Multipliez $e^{- \frac{t}{4}}$ par $1$ .

$- \frac{t e^{- \frac{t}{4}}}{4} + e^{- \frac{t}{4}}$