Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{8} \sqrt{5 - 3 x}$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{5 - 3 x}$ comme ${(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{8} {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{8}$ et $g (x) = {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{8} \frac{d}{d x} [{(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}] + {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{8}]$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = 5 - 3 x$ .

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Étape 3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $5 - 3 x$ .

$x^{8} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [5 - 3 x]) + {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{8}]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$x^{8} (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [5 - 3 x]) + {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{8}]$

Étape 3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $5 - 3 x$ .

$x^{8} (\frac{1}{2} {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [5 - 3 x]) + {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{8}]$

Étape 4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$x^{8} (\frac{1}{2} {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [5 - 3 x]) + {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{8}]$

Étape 5

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$x^{8} (\frac{1}{2} {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [5 - 3 x]) + {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{8}]$

Étape 6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x^{8} (\frac{1}{2} {(5 - 3 x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [5 - 3 x]) + {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{8}]$

Étape 7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$x^{8} (\frac{1}{2} {(5 - 3 x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [5 - 3 x]) + {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{8}]$

Étape 7.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$x^{8} (\frac{1}{2} {(5 - 3 x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [5 - 3 x]) + {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{8}]$

Étape 8

Associez les fractions.

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Étape 8.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x^{8} (\frac{1}{2} {(5 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [5 - 3 x]) + {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{8}]$

Étape 8.2

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(5 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$x^{8} (\frac{{(5 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [5 - 3 x]) + {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{8}]$

Étape 8.3

Placez ${(5 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x^{8} (\frac{1}{2 {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [5 - 3 x]) + {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{8}]$

Étape 8.4

Associez $\frac{1}{2 {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$ et $x^{8}$ .

$\frac{x^{8}}{2 {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [5 - 3 x] + {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{8}]$

Étape 9

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 - 3 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$\frac{x^{8}}{2 {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 3 x]) + {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{8}]$

Étape 10

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{x^{8}}{2 {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- 3 x]) + {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{8}]$

Étape 11

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$\frac{x^{8}}{2 {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 3 x] + {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{8}]$

Étape 12

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 x$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x^{8}}{2 {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} (- 3 \frac{d}{d x} [x]) + {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{8}]$

Étape 13

Associez les fractions.

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Étape 13.1

Associez $- 3$ et $\frac{x^{8}}{2 {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 3 x^{8}}{2 {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x] + {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{8}]$

Étape 13.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{3 x^{8}}{2 {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x] + {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{8}]$

Étape 14

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- \frac{3 x^{8}}{2 {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 + {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{8}]$

Étape 15

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- \frac{3 x^{8}}{2 {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} + {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{8}]$

Étape 16

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 8$ .

$- \frac{3 x^{8}}{2 {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} + {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} (8 x^{7})$

Étape 17

Remettez dans l’ordre.

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Étape 17.1

Déplacez $8$ à gauche de ${(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{3 x^{8}}{2 {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} + 8 \cdot {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} x^{7}$

Étape 17.2

Déplacez ${(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{3 x^{8}}{2 {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} + 8 x^{7} {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}$

Étape 18

Pour écrire $8 x^{7} {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2 {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{3 x^{8}}{2 {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} + 8 x^{7} {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 19

Associez $8 x^{7} {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ et $\frac{2 {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{3 x^{8}}{2 {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{8 x^{7} {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} (2 {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 20

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 3 x^{8} + 8 x^{7} {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} (2 {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 21

Multipliez $2$ par $8$ .

$\frac{- 3 x^{8} + 16 x^{7} {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 22

Multipliez ${(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ par ${(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 22.1

Déplacez ${(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- 3 x^{8} + 16 x^{7} ({(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 22.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- 3 x^{8} + 16 x^{7} {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{2 {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 22.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 3 x^{8} + 16 x^{7} {(- 3 x + 5)}^{\frac{1 + 1}{2}}}{2 {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 22.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{- 3 x^{8} + 16 x^{7} {(- 3 x + 5)}^{\frac{2}{2}}}{2 {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 22.5

Divisez $2$ par $2$ .

$\frac{- 3 x^{8} + 16 x^{7} {(- 3 x + 5)}^{1}}{2 {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 23

Simplifiez $16 x^{7} {(- 3 x + 5)}^{1}$ .

$\frac{- 3 x^{8} + 16 x^{7} (- 3 x + 5)}{2 {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 24

Simplifiez

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Étape 24.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 3 x^{8} + 16 x^{7} (- 3 x) + 16 x^{7} \cdot 5}{2 {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 24.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 24.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 24.2.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{- 3 x^{8} + 16 \cdot - 3 x^{7} x + 16 x^{7} \cdot 5}{2 {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 24.2.1.2

Multipliez $x^{7}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 24.2.1.2.1

Déplacez $x$ .

$\frac{- 3 x^{8} + 16 \cdot - 3 (x \cdot x^{7}) + 16 x^{7} \cdot 5}{2 {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 24.2.1.2.2

Multipliez $x$ par $x^{7}$ .

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Étape 24.2.1.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{- 3 x^{8} + 16 \cdot - 3 (x^{1} x^{7}) + 16 x^{7} \cdot 5}{2 {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 24.2.1.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- 3 x^{8} + 16 \cdot - 3 x^{1 + 7} + 16 x^{7} \cdot 5}{2 {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 24.2.1.2.3

Additionnez $1$ et $7$ .

$\frac{- 3 x^{8} + 16 \cdot - 3 x^{8} + 16 x^{7} \cdot 5}{2 {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 24.2.1.3

Multipliez $16$ par $- 3$ .

$\frac{- 3 x^{8} - 48 x^{8} + 16 x^{7} \cdot 5}{2 {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 24.2.1.4

Multipliez $5$ par $16$ .

$\frac{- 3 x^{8} - 48 x^{8} + 80 x^{7}}{2 {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 24.2.2

Soustrayez $48 x^{8}$ de $- 3 x^{8}$ .

$\frac{- 51 x^{8} + 80 x^{7}}{2 {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 24.3

Factorisez $x^{7}$ à partir de $- 51 x^{8} + 80 x^{7}$ .

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Étape 24.3.1

Factorisez $x^{7}$ à partir de $- 51 x^{8}$ .

$\frac{x^{7} (- 51 x) + 80 x^{7}}{2 {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 24.3.2

Factorisez $x^{7}$ à partir de $80 x^{7}$ .

$\frac{x^{7} (- 51 x) + x^{7} \cdot 80}{2 {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 24.3.3

Factorisez $x^{7}$ à partir de $x^{7} (- 51 x) + x^{7} \cdot 80$ .

$\frac{x^{7} (- 51 x + 80)}{2 {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 24.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- 51 x$ .

$\frac{x^{7} (- (51 x) + 80)}{2 {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 24.5

Réécrivez $80$ comme $- 1 (- 80)$ .

$\frac{x^{7} (- (51 x) - 1 (- 80))}{2 {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 24.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- (51 x) - 1 (- 80)$ .

$\frac{x^{7} (- (51 x - 80))}{2 {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 24.7

Réécrivez $- (51 x - 80)$ comme $- 1 (51 x - 80)$ .

$\frac{x^{7} (- 1 (51 x - 80))}{2 {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 24.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{x^{7} (51 x - 80)}{2 {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$